Производная cos(sin(x))^(2)

1. Заменим $u = \cos{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}$.

2. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cos{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}$:

   1. Заменим $u = \sin{\left(x \right)}$.

   2. Производная косинус есть минус синус:

      $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)}$:

      1. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

      В результате последовательности правил:

      $- \sin{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \cos{\left(x \right)}$

   В результате последовательности правил:

   $- 2 \sin{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \cos{\left(x \right)} \cos{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{\sin{\left(x - 2 \sin{\left(x \right)} \right)}}{2} - \frac{\sin{\left(x + 2 \sin{\left(x \right)} \right)}}{2}$

Ответ:

$\frac{\sin{\left(x - 2 \sin{\left(x \right)} \right)}}{2} - \frac{\sin{\left(x + 2 \sin{\left(x \right)} \right)}}{2}$