Производная 4^sin(5*x)

1. Заменим $u = \sin{\left(5 x \right)}$.

2. $\frac{d}{d u} 4^{u} = 4^{u} \log{\left(4 \right)}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left(5 x \right)}$:

   1. Заменим $u = 5 x$.

   2. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 5 x$:

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $5$

      В результате последовательности правил:

      $5 \cos{\left(5 x \right)}$

   В результате последовательности правил:

   $5 \cdot 4^{\sin{\left(5 x \right)}} \log{\left(4 \right)} \cos{\left(5 x \right)}$

4. Теперь упростим:

   $10 \cdot 4^{\sin{\left(5 x \right)}} \log{\left(2 \right)} \cos{\left(5 x \right)}$

Ответ:

$10 \cdot 4^{\sin{\left(5 x \right)}} \log{\left(2 \right)} \cos{\left(5 x \right)}$