Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

Как пользоваться?
Производная:
Производная sqrt(x^2+4)
Производная sin(4*x^3-2)^(6)
Производная (1/2)*x
Производная (-x^3)/3
Идентичные выражения
cot(e^(x^(один / два)))*(четыре ^(sin(пять *x))+sin(пять *x)^(четыре))
котангенс от (e в степени (x в степени (1 делить на 2))) умножить на (4 в степени ( синус от (5 умножить на x)) плюс синус от (5 умножить на x) в степени (4))
котангенс от (e в степени (x в степени (один делить на два))) умножить на (четыре в степени ( синус от (пять умножить на x)) плюс синус от (пять умножить на x) в степени (четыре))
cot(e(x(1/2)))*(4(sin(5*x))+sin(5*x)(4))
cotex1/2*4sin5*x+sin5*x4
cot(e^(x^(1/2)))(4^(sin(5x))+sin(5x)^(4))
cot(e(x(1/2)))(4(sin(5x))+sin(5x)(4))
cotex1/24sin5x+sin5x4
cote^x^1/24^sin5x+sin5x^4
cot(e^(x^(1 разделить на 2)))*(4^(sin(5*x))+sin(5*x)^(4))
Похожие выражения
cot(e^(x^(1/2)))*(4^(sin(5*x))-sin(5*x)^(4))
cot(e^x^(1/2))*(4^sin(5*x)+(sin(5*x))^4)

Производная функции/ cot(e^(x^(1/2)))*(4^(sin(5*x))+sin(5*x)^(4))

Производная cot(e^(x^(1/2)))(4^(sin(5x))+sin(5*x)^(4))

Решение

Вы ввели [src]

   /   ___\                        
   | \/ x | / sin(5*x)      4     \
cot\e     /*\4         + sin (5*x)/

$$\left(\sin^{4}{\left(5 x \right)} + 4^{\sin{\left(5 x \right)}}\right) \cot{\left(e^{\sqrt{x}} \right)}$$

  /   /   ___\                        \
d |   | \/ x | / sin(5*x)      4     \|
--\cot\e     /*\4         + sin (5*x)//
dx

$$\frac{d}{d x} \left(\sin^{4}{\left(5 x \right)} + 4^{\sin{\left(5 x \right)}}\right) \cot{\left(e^{\sqrt{x}} \right)}$$

Преобразовать

Подробное решение

Применяем правило производной умножения:

$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

$f{\left(x \right)} = \cot{\left(e^{\sqrt{x}} \right)}$ ; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. Есть несколько способов вычислить эту производную.
  Method #1
  1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:
    
    $\cot{\left(e^{\sqrt{x}} \right)} = \frac{1}{\tan{\left(e^{\sqrt{x}} \right)}}$
  2. Заменим $u = \tan{\left(e^{\sqrt{x}} \right)}$ .
  3. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$
  4. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left(e^{\sqrt{x}} \right)}$ :
    1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:
      
      $\tan{\left(e^{\sqrt{x}} \right)} = \frac{\sin{\left(e^{\sqrt{x}} \right)}}{\cos{\left(e^{\sqrt{x}} \right)}}$
    2. Применим правило производной частного:
      
      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
      
      $f{\left(x \right)} = \sin{\left(e^{\sqrt{x}} \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(e^{\sqrt{x}} \right)}$ .
      
      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
      
      Заменим $u = e^{\sqrt{x}}$ .
      
      Производная синуса есть косинус:
      
      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$
      
      Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} e^{\sqrt{x}}$ :
      
      Заменим $u = \sqrt{x}$ .
      
      Производная $e^{u}$ само оно.
      
      Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sqrt{x}$ :
      
      В силу правила, применим: $\sqrt{x}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$
      
      В результате последовательности правил:
      
      $\frac{e^{\sqrt{x}}}{2 \sqrt{x}}$
      
      В результате последовательности правил:
      
      $\frac{e^{\sqrt{x}} \cos{\left(e^{\sqrt{x}} \right)}}{2 \sqrt{x}}$
      
      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
      
      Заменим $u = e^{\sqrt{x}}$ .
      
      Производная косинус есть минус синус:
      
      $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$
      
      Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} e^{\sqrt{x}}$ :
      
      Заменим $u = \sqrt{x}$ .
      
      Производная $e^{u}$ само оно.
      
      Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sqrt{x}$ :
      
      В силу правила, применим: $\sqrt{x}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$
      
      В результате последовательности правил:
      
      $\frac{e^{\sqrt{x}}}{2 \sqrt{x}}$
      
      В результате последовательности правил:
      
      $- \frac{e^{\sqrt{x}} \sin{\left(e^{\sqrt{x}} \right)}}{2 \sqrt{x}}$
      
      Теперь применим правило производной деления:
      
      $\frac{\frac{e^{\sqrt{x}} \sin^{2}{\left(e^{\sqrt{x}} \right)}}{2 \sqrt{x}} + \frac{e^{\sqrt{x}} \cos^{2}{\left(e^{\sqrt{x}} \right)}}{2 \sqrt{x}}}{\cos^{2}{\left(e^{\sqrt{x}} \right)}}$
    В результате последовательности правил:
    
    $- \frac{\frac{e^{\sqrt{x}} \sin^{2}{\left(e^{\sqrt{x}} \right)}}{2 \sqrt{x}} + \frac{e^{\sqrt{x}} \cos^{2}{\left(e^{\sqrt{x}} \right)}}{2 \sqrt{x}}}{\cos^{2}{\left(e^{\sqrt{x}} \right)} \tan^{2}{\left(e^{\sqrt{x}} \right)}}$
  Method #2
  1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:
    
    $\cot{\left(e^{\sqrt{x}} \right)} = \frac{\cos{\left(e^{\sqrt{x}} \right)}}{\sin{\left(e^{\sqrt{x}} \right)}}$
  2. Применим правило производной частного:
    
    $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
    
    $f{\left(x \right)} = \cos{\left(e^{\sqrt{x}} \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \sin{\left(e^{\sqrt{x}} \right)}$ .
    
    Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
    1. Заменим $u = e^{\sqrt{x}}$ .
    2. Производная косинус есть минус синус:
      
      $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$
    3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} e^{\sqrt{x}}$ :
      
      Заменим $u = \sqrt{x}$ .
      
      Производная $e^{u}$ само оно.
      
      Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sqrt{x}$ :
      
      В силу правила, применим: $\sqrt{x}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$
      
      В результате последовательности правил:
      
      $\frac{e^{\sqrt{x}}}{2 \sqrt{x}}$
      
      В результате последовательности правил:
      
      $- \frac{e^{\sqrt{x}} \sin{\left(e^{\sqrt{x}} \right)}}{2 \sqrt{x}}$
    Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
    1. Заменим $u = e^{\sqrt{x}}$ .
    2. Производная синуса есть косинус:
      
      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$
    3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} e^{\sqrt{x}}$ :
      
      Заменим $u = \sqrt{x}$ .
      
      Производная $e^{u}$ само оно.
      
      Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sqrt{x}$ :
      
      В силу правила, применим: $\sqrt{x}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$
      
      В результате последовательности правил:
      
      $\frac{e^{\sqrt{x}}}{2 \sqrt{x}}$
      
      В результате последовательности правил:
      
      $\frac{e^{\sqrt{x}} \cos{\left(e^{\sqrt{x}} \right)}}{2 \sqrt{x}}$
    Теперь применим правило производной деления:
    
    $\frac{- \frac{e^{\sqrt{x}} \sin^{2}{\left(e^{\sqrt{x}} \right)}}{2 \sqrt{x}} - \frac{e^{\sqrt{x}} \cos^{2}{\left(e^{\sqrt{x}} \right)}}{2 \sqrt{x}}}{\sin^{2}{\left(e^{\sqrt{x}} \right)}}$
$g{\left(x \right)} = 4^{\sin{\left(5 x \right)}} + \sin^{4}{\left(5 x \right)}$ ; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. дифференцируем $4^{\sin{\left(5 x \right)}} + \sin^{4}{\left(5 x \right)}$ почленно:
  1. Заменим $u = \sin{\left(5 x \right)}$ .
  2. $\frac{d}{d u} 4^{u} = 4^{u} \log{\left(4 \right)}$
  3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left(5 x \right)}$ :
    1. Заменим $u = 5 x$ .
    2. Производная синуса есть косинус:
      
      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$
    3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 5 x$ :
      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.
        
        В силу правила, применим: $x$ получим $1$
        
        Таким образом, в результате: $5$
      В результате последовательности правил:
      
      $5 \cos{\left(5 x \right)}$
    В результате последовательности правил:
    
    $5 \cdot 4^{\sin{\left(5 x \right)}} \log{\left(4 \right)} \cos{\left(5 x \right)}$
  4. Заменим $u = \sin{\left(5 x \right)}$ .
  5. В силу правила, применим: $u^{4}$ получим $4 u^{3}$
  6. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left(5 x \right)}$ :
    1. Заменим $u = 5 x$ .
    2. Производная синуса есть косинус:
      
      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$
    3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 5 x$ :
      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.
        
        В силу правила, применим: $x$ получим $1$
        
        Таким образом, в результате: $5$
      В результате последовательности правил:
      
      $5 \cos{\left(5 x \right)}$
    В результате последовательности правил:
    
    $20 \sin^{3}{\left(5 x \right)} \cos{\left(5 x \right)}$
  В результате: $5 \cdot 4^{\sin{\left(5 x \right)}} \log{\left(4 \right)} \cos{\left(5 x \right)} + 20 \sin^{3}{\left(5 x \right)} \cos{\left(5 x \right)}$
В результате: $- \frac{\left(4^{\sin{\left(5 x \right)}} + \sin^{4}{\left(5 x \right)}\right) \left(\frac{e^{\sqrt{x}} \sin^{2}{\left(e^{\sqrt{x}} \right)}}{2 \sqrt{x}} + \frac{e^{\sqrt{x}} \cos^{2}{\left(e^{\sqrt{x}} \right)}}{2 \sqrt{x}}\right)}{\cos^{2}{\left(e^{\sqrt{x}} \right)} \tan^{2}{\left(e^{\sqrt{x}} \right)}} + \left(5 \cdot 4^{\sin{\left(5 x \right)}} \log{\left(4 \right)} \cos{\left(5 x \right)} + 20 \sin^{3}{\left(5 x \right)} \cos{\left(5 x \right)}\right) \cot{\left(e^{\sqrt{x}} \right)}$
Теперь упростим:

$\frac{20 \sqrt{x} \left(4^{\sin{\left(5 x \right)}} \log{\left(2 \right)} + 2 \sin^{3}{\left(5 x \right)}\right) \sin{\left(e^{\sqrt{x}} \right)} \cos{\left(5 x \right)} \cos{\left(e^{\sqrt{x}} \right)} - \left(4^{\sin{\left(5 x \right)}} + \sin^{4}{\left(5 x \right)}\right) e^{\sqrt{x}}}{2 \sqrt{x} \cos^{2}{\left(e^{\sqrt{x}} \right)} \tan^{2}{\left(e^{\sqrt{x}} \right)}}$

Ответ:

$\frac{20 \sqrt{x} \left(4^{\sin{\left(5 x \right)}} \log{\left(2 \right)} + 2 \sin^{3}{\left(5 x \right)}\right) \sin{\left(e^{\sqrt{x}} \right)} \cos{\left(5 x \right)} \cos{\left(e^{\sqrt{x}} \right)} - \left(4^{\sin{\left(5 x \right)}} + \sin^{4}{\left(5 x \right)}\right) e^{\sqrt{x}}}{2 \sqrt{x} \cos^{2}{\left(e^{\sqrt{x}} \right)} \tan^{2}{\left(e^{\sqrt{x}} \right)}}$

График

Построить график f(x)

Построить график f'(x)

Первая производная [src]

                                                                    /         /   ___\\                            ___
                                                         /   ___\   |        2| \/ x || / sin(5*x)      4     \  \/ x 
/      3                    sin(5*x)                \    | \/ x |   \-1 - cot \e     //*\4         + sin (5*x)/*e     
\20*sin (5*x)*cos(5*x) + 5*4        *cos(5*x)*log(4)/*cot\e     / + --------------------------------------------------
                                                                                             ___                      
                                                                                         2*\/ x

$$\left(20 \sin^{3}{\left(5 x \right)} \cos{\left(5 x \right)} + 5 \cdot 4^{\sin{\left(5 x \right)}} \log{\left(4 \right)} \cos{\left(5 x \right)}\right) \cot{\left(e^{\sqrt{x}} \right)} + \frac{\left(\sin^{4}{\left(5 x \right)} + 4^{\sin{\left(5 x \right)}}\right) \left(- \cot^{2}{\left(e^{\sqrt{x}} \right)} - 1\right) e^{\sqrt{x}}}{2 \sqrt{x}}$$

Упростить

Вторая производная [src]

                                                                                                                                                               /                /   ___\    ___\                                                                               
                                                                                                                    /        /   ___\\                         |                | \/ x |  \/ x |    ___                                                                        
                                                                                                                    |       2| \/ x || / sin(5*x)      4     \ | 1     1   2*cot\e     /*e     |  \/ x                                                                         
                                                                                                                    \1 + cot \e     //*\4         + sin (5*x)/*|---- - - + --------------------|*e          /        /   ___\\                                              ___
                                                                                                         /   ___\                                              | 3/2   x            x          |            |       2| \/ x || /     3         sin(5*x)       \           \/ x 
     /     4              2         2         sin(5*x)                    sin(5*x)    2         2   \    | \/ x |                                              \x                              /          5*\1 + cot \e     //*\4*sin (5*x) + 4        *log(4)/*cos(5*x)*e     
- 25*\4*sin (5*x) - 12*cos (5*x)*sin (5*x) + 4        *log(4)*sin(5*x) - 4        *cos (5*x)*log (4)/*cot\e     / + ----------------------------------------------------------------------------------- - ---------------------------------------------------------------------
                                                                                                                                                             4                                                                              ___                                
                                                                                                                                                                                                                                          \/ x

$$\frac{\left(\sin^{4}{\left(5 x \right)} + 4^{\sin{\left(5 x \right)}}\right) \left(\cot^{2}{\left(e^{\sqrt{x}} \right)} + 1\right) \left(\frac{2 e^{\sqrt{x}} \cot{\left(e^{\sqrt{x}} \right)}}{x} - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}\right) e^{\sqrt{x}}}{4} - \frac{5 \cdot \left(4 \sin^{3}{\left(5 x \right)} + 4^{\sin{\left(5 x \right)}} \log{\left(4 \right)}\right) \left(\cot^{2}{\left(e^{\sqrt{x}} \right)} + 1\right) e^{\sqrt{x}} \cos{\left(5 x \right)}}{\sqrt{x}} - 25 \cdot \left(4 \sin^{4}{\left(5 x \right)} - 12 \sin^{2}{\left(5 x \right)} \cos^{2}{\left(5 x \right)} - 4^{\sin{\left(5 x \right)}} \log{\left(4 \right)}^{2} \cos^{2}{\left(5 x \right)} + 4^{\sin{\left(5 x \right)}} \log{\left(4 \right)} \sin{\left(5 x \right)}\right) \cot{\left(e^{\sqrt{x}} \right)}$$

Упростить

Третья производная [src]

                                                                                                                                                                                               /                        /   ___\    ___     /        /   ___\\      ___         /   ___\      ___        /   ___\    ___\                                                                                                                                                                                                 /                /   ___\    ___\                
                                                                                                                                                    /        /   ___\\                         |                        | \/ x |  \/ x      |       2| \/ x ||  2*\/ x         2| \/ x |  2*\/ x         | \/ x |  \/ x |    ___                                                                                                                                      /        /   ___\\                                  |                | \/ x |  \/ x |             ___
                                                                                                                                                    |       2| \/ x || / sin(5*x)      4     \ | 1     3     3     6*cot\e     /*e        2*\1 + cot \e     //*e          4*cot \e     /*e          6*cot\e     /*e     |  \/ x                                                                                                                                       |       2| \/ x || /     3         sin(5*x)       \ | 1     1   2*cot\e     /*e     |           \/ x 
                                                                                                                                                    \1 + cot \e     //*\4         + sin (5*x)/*|---- - -- + ---- - -------------------- + ----------------------------- + ----------------------- + --------------------|*e           /        /   ___\\                                                                                                     ___   15*\1 + cot \e     //*\4*sin (5*x) + 4        *log(4)/*|---- - - + --------------------|*cos(5*x)*e     
                                                                                                                                         /   ___\                                              | 3/2    2    5/2            3/2                         3/2                          3/2                      2         |             |       2| \/ x || /     4              2         2         sin(5*x)                    sin(5*x)    2         2   \  \/ x                                                           | 3/2   x            x          |                
      /      3         sin(5*x)                2                  sin(5*x)    2         3         sin(5*x)    2            \             | \/ x |                                              \x      x    x              x                           x                            x                        x          /          75*\1 + cot \e     //*\4*sin (5*x) - 12*cos (5*x)*sin (5*x) + 4        *log(4)*sin(5*x) - 4        *cos (5*x)*log (4)/*e                                                               \x                              /                
- 125*\40*sin (5*x) + 4        *log(4) - 24*cos (5*x)*sin(5*x) - 4        *cos (5*x)*log (4) + 3*4        *log (4)*sin(5*x)/*cos(5*x)*cot\e     / - ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- + ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- + --------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                                                                                                                                                                         8                                                                                                                                                        ___                                                                                                                 4                                                    
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              2*\/ x

$$\frac{15 \cdot \left(4 \sin^{3}{\left(5 x \right)} + 4^{\sin{\left(5 x \right)}} \log{\left(4 \right)}\right) \left(\cot^{2}{\left(e^{\sqrt{x}} \right)} + 1\right) \left(\frac{2 e^{\sqrt{x}} \cot{\left(e^{\sqrt{x}} \right)}}{x} - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}\right) e^{\sqrt{x}} \cos{\left(5 x \right)}}{4} - \frac{\left(\sin^{4}{\left(5 x \right)} + 4^{\sin{\left(5 x \right)}}\right) \left(\cot^{2}{\left(e^{\sqrt{x}} \right)} + 1\right) \left(\frac{4 e^{2 \sqrt{x}} \cot^{2}{\left(e^{\sqrt{x}} \right)}}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{6 e^{\sqrt{x}} \cot{\left(e^{\sqrt{x}} \right)}}{x^{2}} + \frac{2 \left(\cot^{2}{\left(e^{\sqrt{x}} \right)} + 1\right) e^{2 \sqrt{x}}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{6 e^{\sqrt{x}} \cot{\left(e^{\sqrt{x}} \right)}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3}{x^{2}} + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{3}{x^{\frac{5}{2}}}\right) e^{\sqrt{x}}}{8} - 125 \cdot \left(- 4^{\sin{\left(5 x \right)}} \log{\left(4 \right)}^{3} \cos^{2}{\left(5 x \right)} + 40 \sin^{3}{\left(5 x \right)} - 24 \sin{\left(5 x \right)} \cos^{2}{\left(5 x \right)} + 3 \cdot 4^{\sin{\left(5 x \right)}} \log{\left(4 \right)}^{2} \sin{\left(5 x \right)} + 4^{\sin{\left(5 x \right)}} \log{\left(4 \right)}\right) \cos{\left(5 x \right)} \cot{\left(e^{\sqrt{x}} \right)} + \frac{75 \left(\cot^{2}{\left(e^{\sqrt{x}} \right)} + 1\right) \left(4 \sin^{4}{\left(5 x \right)} - 12 \sin^{2}{\left(5 x \right)} \cos^{2}{\left(5 x \right)} - 4^{\sin{\left(5 x \right)}} \log{\left(4 \right)}^{2} \cos^{2}{\left(5 x \right)} + 4^{\sin{\left(5 x \right)}} \log{\left(4 \right)} \sin{\left(5 x \right)}\right) e^{\sqrt{x}}}{2 \sqrt{x}}$$

Упростить

График

Производная cot(e^(x^(1/2)))*(4^(sin(5*x))+sin(5*x)^(4))

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Производная cot(e^(x^(1/2)))(4^(sin(5x))+sin(5*x)^(4))

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Method #1

Method #2

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Производная cot(e^(x^(1/2)))*(4^(sin(5*x))+sin(5*x)^(4))

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Method #1

Method #2

Производная cot(e^(x^(1/2)))(4^(sin(5x))+sin(5*x)^(4))