Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

Как пользоваться?
Интеграл d{x}:
Интеграл 5*x^2+7*x-2/x
Интеграл 2*sin(4*x)
Интеграл 1-sin(x)/cos(x)
Интеграл x^3*sin(2*x)
График функции y =:
x^3*sin(2*x)
Производная:
x^3*sin(2*x)
Идентичные выражения
x^ три *sin(два *x)
x в кубе умножить на синус от (2 умножить на x)
x в степени три умножить на синус от (два умножить на x)
x3*sin(2*x)
x3*sin2*x
x³*sin(2*x)
x в степени 3*sin(2*x)
x^3sin(2x)
x3sin(2x)
x3sin2x
x^3sin2x
x^3*sin(2*x)dx
Похожие выражения
cos(x)^(3)*sin(2*x)*dx
(cos(2*x)^(3)*sin(2*x)^(4))
sqrt(cos(2*x)^(3))*sin(2*x)
(cos(2*x))^3*(sin(2*x))^4
(cos(x))^3*sin(2*x)

Решение интегралов/ x^3*sin(2*x)

Интеграл x^3sin(2x) d{x}

Решение

Вы ввели [src]

  1               
  /               
 |                
 |   3            
 |  x *sin(2*x) dx
 |                
/                 
0

$$\int\limits_{0}^{1} x^{3} \sin{\left(2 x \right)}\, dx$$

Упростить

Подробное решение

Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
Метод #1
1. Используем интегрирование по частям:
  
  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
  
  пусть $u{\left(x \right)} = x^{3}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x \right)}$ .
  
  Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 3 x^{2}$ .
  
  Чтобы найти $v{\left(x \right)}$ :
  1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
    Метод #1
    
    пусть $u = 2 x$ .
    
    Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
    
    $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{4}\, du$
    
    Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}$
    
    Интеграл от синуса есть минус косинус:
    
    $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$
    
    Таким образом, результат будет: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}$
    
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}$
    Метод #2
    
    Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$
    
    пусть $u = \cos{\left(x \right)}$ .
    
    Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$ :
    
    $\int u\, du$
    
    Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- u\right)\, du = - \int u\, du$
    
    Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
    
    $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$
    
    Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{2}}{2}$
    
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$
    
    Таким образом, результат будет: $- \cos^{2}{\left(x \right)}$
  Теперь решаем под-интеграл.
2. Используем интегрирование по частям:
  
  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
  
  пусть $u{\left(x \right)} = - \frac{3 x^{2}}{2}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(2 x \right)}$ .
  
  Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - 3 x$ .
  
  Чтобы найти $v{\left(x \right)}$ :
  1. пусть $u = 2 x$ .
    
    Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
    
    $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$
  Теперь решаем под-интеграл.
3. Используем интегрирование по частям:
  
  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
  
  пусть $u{\left(x \right)} = - \frac{3 x}{2}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x \right)}$ .
  
  Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{3}{2}$ .
  
  Чтобы найти $v{\left(x \right)}$ :
  1. пусть $u = 2 x$ .
    
    Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
    
    $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{4}\, du$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      Интеграл от синуса есть минус косинус:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}$
  Теперь решаем под-интеграл.
4. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
  
  $\int \frac{3 \cos{\left(2 x \right)}}{4}\, dx = \frac{3 \int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{4}$
  1. пусть $u = 2 x$ .
    
    Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
    
    $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$
  Таким образом, результат будет: $\frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{8}$
Метод #2
1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
  
  $\int 2 x^{3} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 2 \int x^{3} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$
  1. Используем интегрирование по частям:
    
    $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
    
    пусть $u{\left(x \right)} = x^{3}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$ .
    
    Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 3 x^{2}$ .
    
    Чтобы найти $v{\left(x \right)}$ :
    1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$ :
      
      $\int u\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- u\right)\, du = - \int u\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{2}}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$
    Теперь решаем под-интеграл.
  2. Используем интегрирование по частям:
    
    $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
    
    пусть $u{\left(x \right)} = - \frac{3 x^{2}}{2}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos^{2}{\left(x \right)}$ .
    
    Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - 3 x$ .
    
    Чтобы найти $v{\left(x \right)}$ :
    1. Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\cos^{2}{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
    2. Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$
      
      пусть $u = 2 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
      
      Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$
    Теперь решаем под-интеграл.
  3. Используем интегрирование по частям:
    
    $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
    
    пусть $u{\left(x \right)} = - \frac{3 x}{4}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 2 x + \sin{\left(2 x \right)}$ .
    
    Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{3}{4}$ .
    
    Чтобы найти $v{\left(x \right)}$ :
    1. Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int 2 x\, dx = 2 \int x\, dx$
      
      Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$
      
      Таким образом, результат будет: $x^{2}$
      
      пусть $u = 2 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{4}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      Интеграл от синуса есть минус косинус:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}$
      
      Результат есть: $x^{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}$
    Теперь решаем под-интеграл.
  4. Интегрируем почленно:
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{3 x^{2}}{4}\right)\, dx = - \frac{3 \int x^{2}\, dx}{4}$
      
      Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{x^{3}}{4}$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{3 \cos{\left(2 x \right)}}{8}\, dx = \frac{3 \int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{8}$
      
      пусть $u = 2 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{16}$
    Результат есть: $- \frac{x^{3}}{4} + \frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{16}$
  Таким образом, результат будет: $- x^{3} \cos^{2}{\left(x \right)} + \frac{x^{3}}{2} + 3 x^{2} \left(\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}\right) - \frac{3 x \left(x^{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)}{2} - \frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{8}$
Добавляем постоянную интегрирования:

$- \frac{x^{3} \cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{3 x^{2} \sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{3 x \cos{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{8}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$- \frac{x^{3} \cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{3 x^{2} \sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{3 x \cos{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{8}+ \mathrm{constant}$

Ответ (Неопределённый) [src]

  /                                                                            
 |                                    3                              2         
 |  3                   3*sin(2*x)   x *cos(2*x)   3*x*cos(2*x)   3*x *sin(2*x)
 | x *sin(2*x) dx = C - ---------- - ----------- + ------------ + -------------
 |                          8             2             4               4      
/

$${{\left(12\,x^2-6\right)\,\sin \left(2\,x\right)+\left(12\,x-8\,x^3 \right)\,\cos \left(2\,x\right)}\over{16}}$$

Упростить

График

Построить график f(x)

Ответ [src]

cos(2)   3*sin(2)
------ + --------
  4         8

$${{3\,\sin 2+2\,\cos 2}\over{8}}$$

cos(2)   3*sin(2)
------ + --------
  4         8

$$\frac{\cos{\left(2 \right)}}{4} + \frac{3 \sin{\left(2 \right)}}{8}$$

Упростить

Численный ответ [src]

0.236949825922845

0.236949825922845

График

$Интеграл x^3*sin(2*x) d{x}$

Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Интеграл x^3sin(2x) d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #1

Метод #2

Метод #2