Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

Как пользоваться?
Интеграл d{x}:
Интеграл (1+x)
Интеграл e^x-1
Интеграл (sqrt(1+x))/x
Интеграл (atan(x))/(x^2+1)
Производная:
(x^3)/(x^2-1)
График функции y =:
(x^3)/(x^2-1)
Идентичные выражения
(x^ три)/(x^ два - один)
(x в кубе ) делить на (x в квадрате минус 1)
(x в степени три) делить на (x в степени два минус один)
(x3)/(x2-1)
x3/x2-1
(x³)/(x²-1)
(x в степени 3)/(x в степени 2-1)
x^3/x^2-1
(x^3) разделить на (x^2-1)
(x^3)/(x^2-1)dx
Похожие выражения
x^3/(x^2-1)
(x^3)/(x^2+1)

Интеграл (x^3)/(x^2-1) d{x}

Решение

Вы ввели [src]

  1          
  /          
 |           
 |     3     
 |    x      
 |  ------ dx
 |   2       
 |  x  - 1   
 |           
/            
0

$$\int\limits_{0}^{1} \frac{x^{3}}{x^{2} - 1}\, dx$$

Упростить

Подробное решение

Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
Метод #1
1. пусть $u = x^{2}$ .
  
  Тогда пусть $du = 2 x dx$ и подставим $du$ :
  
  $\int \frac{u}{2 u - 2}\, du$
  1. Перепишите подынтегральное выражение:
    
    $\frac{u}{2 u - 2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2 \left(u - 1\right)}$
  2. Интегрируем почленно:
    1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{1}{2 \left(u - 1\right)}\, du = \frac{\int \frac{1}{u - 1}\, du}{2}$
      
      пусть $u = u - 1$ .
      
      Тогда пусть $du = du$ и подставим $du$ :
      
      $\int \frac{1}{u}\, du$
      
      Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\log{\left(u - 1 \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(u - 1 \right)}}{2}$
    Результат есть: $\frac{u}{2} + \frac{\log{\left(u - 1 \right)}}{2}$
  Если сейчас заменить $u$ ещё в:
  
  $\frac{x^{2}}{2} + \frac{\log{\left(x^{2} - 1 \right)}}{2}$
Метод #2
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\frac{x^{3}}{x^{2} - 1} = x + \frac{1}{2 \left(x + 1\right)} + \frac{1}{2 \left(x - 1\right)}$
2. Интегрируем почленно:
  1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
    
    $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \frac{1}{2 \left(x + 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x + 1}\, dx}{2}$
    1. пусть $u = x + 1$ .
      
      Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$ :
      
      $\int \frac{1}{u}\, du$
      
      Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\log{\left(x + 1 \right)}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{2}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \frac{1}{2 \left(x - 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x - 1}\, dx}{2}$
    1. пусть $u = x - 1$ .
      
      Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$ :
      
      $\int \frac{1}{u}\, du$
      
      Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\log{\left(x - 1 \right)}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{2}$
  Результат есть: $\frac{x^{2}}{2} + \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{2} + \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{2}$
Добавляем постоянную интегрирования:

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{\log{\left(x^{2} - 1 \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{\log{\left(x^{2} - 1 \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Ответ (Неопределённый) [src]

  /                                 
 |                                  
 |    3             2      /      2\
 |   x             x    log\-1 + x /
 | ------ dx = C + -- + ------------
 |  2              2         2      
 | x  - 1                           
 |                                  
/

$${{\log \left(x^2-1\right)}\over{2}}+{{x^2}\over{2}}$$

Упростить

Ответ [src]

      pi*I
-oo - ----
       2

$${\it \%a}$$

      pi*I
-oo - ----
       2

$$-\infty - \frac{i \pi}{2}$$

Упростить

Численный ответ [src]

-21.1989048028269

-21.1989048028269

Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Интеграл (x^3)/(x^2-1) d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #2