Интеграл (x^3)/(x^2+1) d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = x^{2}$.

      Тогда пусть $du = 2 x dx$ и подставим $du$:

      $\int \frac{u}{2 u + 2}\, du$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{u}{2 u + 2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2 \left(u + 1\right)}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- \frac{1}{2 \left(u + 1\right)}\right)\, du = - \frac{\int \frac{1}{u + 1}\, du}{2}$

            1. пусть $u = u + 1$.

               Тогда пусть $du = du$ и подставим $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\log{\left(u + 1 \right)}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{\log{\left(u + 1 \right)}}{2}$

         Результат есть: $\frac{u}{2} - \frac{\log{\left(u + 1 \right)}}{2}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{x^{2}}{2} - \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x^{3}}{x^{2} + 1} = x - \frac{x}{x^{2} + 1}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \frac{x}{x^{2} + 1}\right)\, dx = - \int \frac{x}{x^{2} + 1}\, dx$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{x}{x^{2} + 1}\, dx = \frac{\int \frac{2 x}{x^{2} + 1}\, dx}{2}$

            1. пусть $u = x^{2} + 1$.

               Тогда пусть $du = 2 x dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{1}{2 u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\log{\left(x^{2} + 1 \right)}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}$

      Результат есть: $\frac{x^{2}}{2} - \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x^{2}}{2} - \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{x^{2}}{2} - \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$