Интеграл x^4*sin(x) d{x}

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left(x \right)} = x^{4}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$.

   Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 4 x^{3}$.

   Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

   1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

      $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left(x \right)} = - 4 x^{3}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$.

   Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - 12 x^{2}$.

   Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

   1. Интеграл от косинуса есть синус:

      $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

   Теперь решаем под-интеграл.

3. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left(x \right)} = - 12 x^{2}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$.

   Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - 24 x$.

   Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

   1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

      $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

   Теперь решаем под-интеграл.

4. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left(x \right)} = 24 x$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$.

   Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 24$.

   Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

   1. Интеграл от косинуса есть синус:

      $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

   Теперь решаем под-интеграл.

5. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int 24 \sin{\left(x \right)}\, dx = 24 \int \sin{\left(x \right)}\, dx$

   1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

      $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

   Таким образом, результат будет: $- 24 \cos{\left(x \right)}$

6. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- x^{4} \cos{\left(x \right)} + 4 x^{3} \sin{\left(x \right)} + 12 x^{2} \cos{\left(x \right)} - 24 x \sin{\left(x \right)} - 24 \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$- x^{4} \cos{\left(x \right)} + 4 x^{3} \sin{\left(x \right)} + 12 x^{2} \cos{\left(x \right)} - 24 x \sin{\left(x \right)} - 24 \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$