Интеграл cos(x)^4*sin(x) d{x}

1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$.

   Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$:

   $\int u^{4}\, du$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \left(- u^{4}\right)\, du = - \int u^{4}\, du$

      1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

         $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{5}}{5}$

   Если сейчас заменить $u$ ещё в:

   $- \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$- \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5}+ \mathrm{constant}$