Интеграл tan(2*x) d{x}

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\tan{\left(2 x \right)} = \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{\cos{\left(2 x \right)}}$

2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = \cos{\left(2 x \right)}$.

      Тогда пусть $du = - 2 \sin{\left(2 x \right)} dx$ и подставим $- \frac{du}{2}$:

      $\int \frac{1}{4 u}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \frac{1}{2 u}\right)\, du = - \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

         Таким образом, результат будет: $- \frac{\log{\left(u \right)}}{2}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{\log{\left(\cos{\left(2 x \right)} \right)}}{2}$

   Метод #2

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(2 x \right)}}\, dx = 2 \int \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(2 x \right)}}\, dx$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(2 x \right)}} = \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{2 \cos^{2}{\left(x \right)} - 1}$

      2. пусть $u = 2 \cos^{2}{\left(x \right)} - 1$.

         Тогда пусть $du = - 4 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $- \frac{du}{4}$:

         $\int \frac{1}{16 u}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- \frac{1}{4 u}\right)\, du = - \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{4}$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

            Таким образом, результат будет: $- \frac{\log{\left(u \right)}}{4}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{\log{\left(2 \cos^{2}{\left(x \right)} - 1 \right)}}{4}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{\log{\left(2 \cos^{2}{\left(x \right)} - 1 \right)}}{2}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{\log{\left(\cos{\left(2 x \right)} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$- \frac{\log{\left(\cos{\left(2 x \right)} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$