Интеграл x*log(1+1/x) d{x}

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left(x \right)} = \log{\left(1 + 1 \cdot \frac{1}{x} \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x$.

   Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x^{2} \cdot \left(1 + 1 \cdot \frac{1}{x}\right)}$.

   Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

   1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

      $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int \left(- \frac{1}{2 \cdot \left(1 + 1 \cdot \frac{1}{x}\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{1 + 1 \cdot \frac{1}{x}}\, dx}{2}$

   1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{1}{1 + 1 \cdot \frac{1}{x}} = 1 - \frac{1}{x + 1}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 1\, dx = x$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- \frac{1}{x + 1}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x + 1}\, dx$

            1. пусть $u = x + 1$.

               Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\log{\left(x + 1 \right)}$

            Таким образом, результат будет: $- \log{\left(x + 1 \right)}$

         Результат есть: $x - \log{\left(x + 1 \right)}$

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{1}{1 + 1 \cdot \frac{1}{x}} = \frac{x}{x + 1}$

      2. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{x}{x + 1} = 1 - \frac{1}{x + 1}$

      3. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 1\, dx = x$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- \frac{1}{x + 1}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x + 1}\, dx$

            1. пусть $u = x + 1$.

               Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\log{\left(x + 1 \right)}$

            Таким образом, результат будет: $- \log{\left(x + 1 \right)}$

         Результат есть: $x - \log{\left(x + 1 \right)}$

   Таким образом, результат будет: $- \frac{x}{2} + \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{2}$

3. Теперь упростить:

   $\frac{x^{2} \log{\left(\frac{x + 1}{x} \right)}}{2} + \frac{x}{2} - \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{2}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x^{2} \log{\left(\frac{x + 1}{x} \right)}}{2} + \frac{x}{2} - \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{x^{2} \log{\left(\frac{x + 1}{x} \right)}}{2} + \frac{x}{2} - \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$