Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

Как пользоваться?
Производная:
Производная e^(-x)
Производная 1/(sqrt(x))
Производная atan(x-sqrt(1+x^2))
Производная (1-cos(2*x))/(1+cos(2*x))
Интеграл d{x}:
x*log(1+1/x)
Предел функции:
x*log(1+1/x)
Идентичные выражения
x*log(один + один /x)
x умножить на логарифм от (1 плюс 1 делить на x)
x умножить на логарифм от (один плюс один делить на x)
xlog(1+1/x)
xlog1+1/x
x*log(1+1 разделить на x)
Похожие выражения
x*log(1+1/(x^2))
x*log(1-1/x)
Что Вы имели ввиду?
x*log((1 + 1)/x)
x*log(1 + 1/x)
x*log(1 + 1/x)

Вы ввели:

x*log(1+1/x)

Что Вы имели ввиду?

x*log((1 + 1)/x)

x*log(1 + 1/x)

x*log(1 + 1/x)

Производная x*log(1+1/x)

Решение

Вы ввели [src]

     /      1\
x*log|1 + 1*-|
     \      x/

$$x \log{\left(1 + 1 \cdot \frac{1}{x} \right)}$$

d /     /      1\\
--|x*log|1 + 1*-||
dx\     \      x//

$$\frac{d}{d x} x \log{\left(1 + 1 \cdot \frac{1}{x} \right)}$$

Преобразовать

Подробное решение

Применяем правило производной умножения:

$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

$f{\left(x \right)} = x$ ; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$
$g{\left(x \right)} = \log{\left(1 + 1 \cdot \frac{1}{x} \right)}$ ; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. Заменим $u = 1 + 1 \cdot \frac{1}{x}$ .
2. Производная $\log{\left(u \right)}$ является $\frac{1}{u}$ .
3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(1 + 1 \cdot \frac{1}{x}\right)$ :
  1. дифференцируем $1 + 1 \cdot \frac{1}{x}$ почленно:
    1. Производная постоянной $1$ равна нулю.
    2. Применим правило производной частного:
      
      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
      
      $f{\left(x \right)} = 1$ и $g{\left(x \right)} = x$ .
      
      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.
      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$
      Теперь применим правило производной деления:
      
      $- \frac{1}{x^{2}}$
    В результате: $- \frac{1}{x^{2}}$
  В результате последовательности правил:
  
  $- \frac{1}{x^{2} \cdot \left(1 + 1 \cdot \frac{1}{x}\right)}$
В результате: $\log{\left(1 + 1 \cdot \frac{1}{x} \right)} - \frac{1}{x \left(1 + 1 \cdot \frac{1}{x}\right)}$
Теперь упростим:

$\frac{\left(x + 1\right) \log{\left(\frac{x + 1}{x} \right)} - 1}{x + 1}$

Ответ:

$\frac{\left(x + 1\right) \log{\left(\frac{x + 1}{x} \right)} - 1}{x + 1}$

График

Построить график f(x)

Построить график f'(x)

Первая производная [src]

       1           /      1\
- ----------- + log|1 + 1*-|
    /      1\      \      x/
  x*|1 + 1*-|               
    \      x/

$$\log{\left(1 + 1 \cdot \frac{1}{x} \right)} - \frac{1}{x \left(1 + 1 \cdot \frac{1}{x}\right)}$$

Упростить

Вторая производная [src]

    -1     
-----------
          2
 3 /    1\ 
x *|1 + -| 
   \    x/

$$- \frac{1}{x^{3} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{2}}$$

Упростить

Третья производная [src]

       2            3    
- ----------- + ---------
            2     /    1\
   2 /    1\    x*|1 + -|
  x *|1 + -|      \    x/
     \    x/             
-------------------------
         3 /    1\       
        x *|1 + -|       
           \    x/

$$\frac{\frac{3}{x \left(1 + \frac{1}{x}\right)} - \frac{2}{x^{2} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{2}}}{x^{3} \cdot \left(1 + \frac{1}{x}\right)}$$

Упростить

График

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Что Вы имели ввиду?

Вы ввели:

Что Вы имели ввиду?

Производная x*log(1+1/x)

График:

Кусочно-заданная:

Решение