Интеграл cos(x)^(5) d{x}

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\cos^{5}{\left(x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \cos{\left(x \right)}$

2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \cos{\left(x \right)} = \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 2 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. пусть $u = \sin{\left(x \right)}$.

         Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$:

         $\int u^{4}\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 2 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

         1. пусть $u = \sin{\left(x \right)}$.

            Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$:

            $\int u^{2}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{2 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$

      1. Интеграл от косинуса есть синус:

         $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

      Результат есть: $\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{2 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \cos{\left(x \right)} = \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 2 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. пусть $u = \sin{\left(x \right)}$.

         Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$:

         $\int u^{4}\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 2 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

         1. пусть $u = \sin{\left(x \right)}$.

            Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$:

            $\int u^{2}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{2 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$

      1. Интеграл от косинуса есть синус:

         $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

      Результат есть: $\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{2 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{2 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{2 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$