Интеграл x*e^(x/3) d{x}

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left(x \right)} = x$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{\frac{x}{3}}$.

   Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

   Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

   1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть $u = \frac{x}{3}$.

         Тогда пусть $du = \frac{dx}{3}$ и подставим $3 du$:

         $\int 9 e^{u}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int 3 e^{u}\, du = 3 \int e^{u}\, du$

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Таким образом, результат будет: $3 e^{u}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $3 e^{\frac{x}{3}}$

      Метод #2

      1. пусть $u = e^{\frac{x}{3}}$.

         Тогда пусть $du = \frac{e^{\frac{x}{3}} dx}{3}$ и подставим $3 du$:

         $\int 9\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int 3\, du = 3 \int 1\, du$

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int 1\, du = u$

            Таким образом, результат будет: $3 u$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $3 e^{\frac{x}{3}}$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int 3 e^{\frac{x}{3}}\, dx = 3 \int e^{\frac{x}{3}}\, dx$

   1. пусть $u = \frac{x}{3}$.

      Тогда пусть $du = \frac{dx}{3}$ и подставим $3 du$:

      $\int 9 e^{u}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 3 e^{u}\, du = 3 \int e^{u}\, du$

         1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Таким образом, результат будет: $3 e^{u}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $3 e^{\frac{x}{3}}$

   Таким образом, результат будет: $9 e^{\frac{x}{3}}$

3. Теперь упростить:

   $3 \left(x - 3\right) e^{\frac{x}{3}}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $3 \left(x - 3\right) e^{\frac{x}{3}}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$3 \left(x - 3\right) e^{\frac{x}{3}}+ \mathrm{constant}$