Интеграл x*e^(5*x) d{x}

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left(x \right)} = x$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{5 x}$.

   Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

   Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

   1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть $u = 5 x$.

         Тогда пусть $du = 5 dx$ и подставим $\frac{du}{5}$:

         $\int \frac{e^{u}}{25}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{e^{u}}{5}\, du = \frac{\int e^{u}\, du}{5}$

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{e^{u}}{5}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{e^{5 x}}{5}$

      Метод #2

      1. пусть $u = e^{5 x}$.

         Тогда пусть $du = 5 e^{5 x} dx$ и подставим $\frac{du}{5}$:

         $\int \frac{1}{25}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{5}\, du = \frac{\int 1\, du}{5}$

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int 1\, du = u$

            Таким образом, результат будет: $\frac{u}{5}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{e^{5 x}}{5}$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int \frac{e^{5 x}}{5}\, dx = \frac{\int e^{5 x}\, dx}{5}$

   1. пусть $u = 5 x$.

      Тогда пусть $du = 5 dx$ и подставим $\frac{du}{5}$:

      $\int \frac{e^{u}}{25}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{e^{u}}{5}\, du = \frac{\int e^{u}\, du}{5}$

         1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{e^{u}}{5}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{e^{5 x}}{5}$

   Таким образом, результат будет: $\frac{e^{5 x}}{25}$

3. Теперь упростить:

   $\frac{\left(5 x - 1\right) e^{5 x}}{25}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{\left(5 x - 1\right) e^{5 x}}{25}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{\left(5 x - 1\right) e^{5 x}}{25}+ \mathrm{constant}$