Производная x*e^(5*x)

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = x$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   $g{\left(x \right)} = e^{5 x}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Заменим $u = 5 x$.

   2. Производная $e^{u}$ само оно.

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 5 x$:

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $5$

      В результате последовательности правил:

      $5 e^{5 x}$

   В результате: $5 x e^{5 x} + e^{5 x}$

2. Теперь упростим:

   $\left(5 x + 1\right) e^{5 x}$

Ответ:

$\left(5 x + 1\right) e^{5 x}$