Интеграл x*(2*x+5)^10 d{x}

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $x \left(2 x + 5\right)^{10} = 1024 x^{11} + 25600 x^{10} + 288000 x^{9} + 1920000 x^{8} + 8400000 x^{7} + 25200000 x^{6} + 52500000 x^{5} + 75000000 x^{4} + 70312500 x^{3} + 39062500 x^{2} + 9765625 x$

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 1024 x^{11}\, dx = 1024 \int x^{11}\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

         $\int x^{11}\, dx = \frac{x^{12}}{12}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{256 x^{12}}{3}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 25600 x^{10}\, dx = 25600 \int x^{10}\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

         $\int x^{10}\, dx = \frac{x^{11}}{11}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{25600 x^{11}}{11}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 288000 x^{9}\, dx = 288000 \int x^{9}\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

         $\int x^{9}\, dx = \frac{x^{10}}{10}$

      Таким образом, результат будет: $28800 x^{10}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 1920000 x^{8}\, dx = 1920000 \int x^{8}\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

         $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{640000 x^{9}}{3}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 8400000 x^{7}\, dx = 8400000 \int x^{7}\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

         $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

      Таким образом, результат будет: $1050000 x^{8}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 25200000 x^{6}\, dx = 25200000 \int x^{6}\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

         $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

      Таким образом, результат будет: $3600000 x^{7}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 52500000 x^{5}\, dx = 52500000 \int x^{5}\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

         $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

      Таким образом, результат будет: $8750000 x^{6}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 75000000 x^{4}\, dx = 75000000 \int x^{4}\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

         $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

      Таким образом, результат будет: $15000000 x^{5}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 70312500 x^{3}\, dx = 70312500 \int x^{3}\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

         $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

      Таким образом, результат будет: $17578125 x^{4}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 39062500 x^{2}\, dx = 39062500 \int x^{2}\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

         $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{39062500 x^{3}}{3}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 9765625 x\, dx = 9765625 \int x\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{9765625 x^{2}}{2}$

   Результат есть: $\frac{256 x^{12}}{3} + \frac{25600 x^{11}}{11} + 28800 x^{10} + \frac{640000 x^{9}}{3} + 1050000 x^{8} + 3600000 x^{7} + 8750000 x^{6} + 15000000 x^{5} + 17578125 x^{4} + \frac{39062500 x^{3}}{3} + \frac{9765625 x^{2}}{2}$

3. Теперь упростить:

   $\frac{x^{2} \cdot \left(5632 x^{10} + 153600 x^{9} + 1900800 x^{8} + 14080000 x^{7} + 69300000 x^{6} + 237600000 x^{5} + 577500000 x^{4} + 990000000 x^{3} + 1160156250 x^{2} + 859375000 x + 322265625\right)}{66}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x^{2} \cdot \left(5632 x^{10} + 153600 x^{9} + 1900800 x^{8} + 14080000 x^{7} + 69300000 x^{6} + 237600000 x^{5} + 577500000 x^{4} + 990000000 x^{3} + 1160156250 x^{2} + 859375000 x + 322265625\right)}{66}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{x^{2} \cdot \left(5632 x^{10} + 153600 x^{9} + 1900800 x^{8} + 14080000 x^{7} + 69300000 x^{6} + 237600000 x^{5} + 577500000 x^{4} + 990000000 x^{3} + 1160156250 x^{2} + 859375000 x + 322265625\right)}{66}+ \mathrm{constant}$