Интеграл (x-2)/(x+3) d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x - 2}{x + 3} = 1 - \frac{5}{x + 3}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \frac{5}{x + 3}\right)\, dx = - 5 \int \frac{1}{x + 3}\, dx$

         1. пусть $u = x + 3$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left(x + 3 \right)}$

         Таким образом, результат будет: $- 5 \log{\left(x + 3 \right)}$

      Результат есть: $x - 5 \log{\left(x + 3 \right)}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x - 2}{x + 3} = \frac{x}{x + 3} - \frac{2}{x + 3}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{x}{x + 3} = 1 - \frac{3}{x + 3}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 1\, dx = x$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- \frac{3}{x + 3}\right)\, dx = - 3 \int \frac{1}{x + 3}\, dx$

            1. пусть $u = x + 3$.

               Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\log{\left(x + 3 \right)}$

            Таким образом, результат будет: $- 3 \log{\left(x + 3 \right)}$

         Результат есть: $x - 3 \log{\left(x + 3 \right)}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \frac{2}{x + 3}\right)\, dx = - 2 \int \frac{1}{x + 3}\, dx$

         1. пусть $u = x + 3$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left(x + 3 \right)}$

         Таким образом, результат будет: $- 2 \log{\left(x + 3 \right)}$

      Результат есть: $x - 2 \log{\left(x + 3 \right)} - 3 \log{\left(x + 3 \right)}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $x - 5 \log{\left(x + 3 \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$x - 5 \log{\left(x + 3 \right)}+ \mathrm{constant}$