Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

Как пользоваться?
Интеграл d{x}:
Интеграл sin(x)^4
Интеграл ((sin(x))^4)*((cos(x))^4)
Интеграл cos(x)/sqrt(2*sin(x))+1
Интеграл cos(x)^4*sin(x)^2
Идентичные выражения
(sin(x/ два)-cos(x/ два))^ два
( синус от (x делить на 2) минус косинус от (x делить на 2)) в квадрате
( синус от (x делить на два) минус косинус от (x делить на два)) в степени два
(sin(x/2)-cos(x/2))2
sinx/2-cosx/22
(sin(x/2)-cos(x/2))²
(sin(x/2)-cos(x/2)) в степени 2
sinx/2-cosx/2^2
(sin(x разделить на 2)-cos(x разделить на 2))^2
(sin(x/2)-cos(x/2))^2dx
Похожие выражения
(sin(x)/2-cos(x)/2)^2
(sin(x/2)+cos(x/2))^2

Решение интегралов/ (sin(x/2)-cos(x/2))^2

Интеграл (sin(x/2)-cos(x/2))^2 d{x}

Решение

Вы ввели [src]

  1                      
  /                      
 |                       
 |                   2   
 |  /   /x\      /x\\    
 |  |sin|-| - cos|-||  dx
 |  \   \2/      \2//    
 |                       
/                        
0

$$\int\limits_{0}^{1} \left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)^{2}\, dx$$

Упростить

Подробное решение

Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
Метод #1
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)^{2} = \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} - 2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}$
2. Интегрируем почленно:
  1. Перепишите подынтегральное выражение:
    
    $\sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{2}$
  2. Интегрируем почленно:
    1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{\cos{\left(x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(x \right)}\, dx}{2}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin{\left(x \right)}}{2}$
    Результат есть: $\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{2}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- 2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx$
    1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
      
      Метод #1
      
      пусть $u = \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = - \frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} dx}{2}$ и подставим $- 2 du$ :
      
      $\int 4 u\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- 2 u\right)\, du = - 2 \int u\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$
      
      Таким образом, результат будет: $- u^{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}$
      
      Метод #2
      
      пусть $u = \frac{x}{2}$ .
      
      Тогда пусть $du = \frac{dx}{2}$ и подставим $2 du$ :
      
      $\int 4 \sin{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int 2 \sin{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}\, du = 2 \int \sin{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}\, du$
      
      пусть $u = \cos{\left(u \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = - \sin{\left(u \right)} du$ и подставим $- du$ :
      
      $\int u\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- u\right)\, du = - \int u\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{2}}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{2}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \cos^{2}{\left(u \right)}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}$
      
      Метод #3
      
      пусть $u = \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = \frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} dx}{2}$ и подставим $2 du$ :
      
      $\int 4 u\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int 2 u\, du = 2 \int u\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$
      
      Таким образом, результат будет: $u^{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}$
    Таким образом, результат будет: $2 \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}$
  1. Перепишите подынтегральное выражение:
    
    $\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
  2. Интегрируем почленно:
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(x \right)}\, dx}{2}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(x \right)}}{2}$
    1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
    Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{2}$
  Результат есть: $x + 2 \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}$
Метод #2
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)^{2} = \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} - 2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}$
2. Интегрируем почленно:
  1. Перепишите подынтегральное выражение:
    
    $\sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{2}$
  2. Интегрируем почленно:
    1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{\cos{\left(x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(x \right)}\, dx}{2}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin{\left(x \right)}}{2}$
    Результат есть: $\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{2}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- 2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx$
    1. пусть $u = \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = - \frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} dx}{2}$ и подставим $- 2 du$ :
      
      $\int 4 u\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- 2 u\right)\, du = - 2 \int u\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$
      
      Таким образом, результат будет: $- u^{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}$
    Таким образом, результат будет: $2 \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}$
  1. Перепишите подынтегральное выражение:
    
    $\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
  2. Интегрируем почленно:
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(x \right)}\, dx}{2}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(x \right)}}{2}$
    1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
    Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{2}$
  Результат есть: $x + 2 \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}$
Теперь упростить:

$x + \cos{\left(x \right)} + 1$
Добавляем постоянную интегрирования:

$x + \cos{\left(x \right)} + 1+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$x + \cos{\left(x \right)} + 1+ \mathrm{constant}$

Ответ (Неопределённый) [src]

  /                                         
 |                                          
 |                  2                       
 | /   /x\      /x\\                    2/x\
 | |sin|-| - cos|-||  dx = C + x + 2*cos |-|
 | \   \2/      \2//                     \2/
 |                                          
/

$$x+2\,\cos ^2\left({{x}\over{2}}\right)$$

Упростить

График

Построить график f(x)

Ответ [src]

        2             2     
-2 + sin (1/2) + 3*cos (1/2)

$$2\,\left({{\sin 1+1}\over{4}}-{{\sin 1-1}\over{4}}+\cos ^2\left({{1 }\over{2}}\right)-1\right)$$

        2             2     
-2 + sin (1/2) + 3*cos (1/2)

$$-2 + \sin^{2}{\left(\frac{1}{2} \right)} + 3 \cos^{2}{\left(\frac{1}{2} \right)}$$

Упростить

Численный ответ [src]

0.54030230586814

0.54030230586814

График

$Интеграл (sin(x/2)-cos(x/2))^2 d{x}$

Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Интеграл (sin(x/2)-cos(x/2))^2 d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #1

Метод #2

Метод #3

Метод #2