Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

Как пользоваться?
Интеграл d{x}:
Интеграл (sin(x))/(cos(x))^3
Интеграл e^cos(x)
Интеграл 1/sqrt(y)
Интеграл 4/5+x^2
Производная:
(sin(x)/2+cos(x)/2)^2
Идентичные выражения
(sin(x)/ два +cos(x)/ два)^ два
( синус от (x) делить на 2 плюс косинус от (x) делить на 2) в квадрате
( синус от (x) делить на два плюс косинус от (x) делить на два) в степени два
(sin(x)/2+cos(x)/2)2
sinx/2+cosx/22
(sin(x)/2+cos(x)/2)²
(sin(x)/2+cos(x)/2) в степени 2
sinx/2+cosx/2^2
(sin(x) разделить на 2+cos(x) разделить на 2)^2
(sin(x)/2+cos(x)/2)^2dx
Похожие выражения
(sin(x)/2-cos(x)/2)^2
(sin(x/2)+cos(x/2))^2
(sinx/2+cosx/2)^2

Решение интегралов/ (sin(x)/2+cos(x)/2)^2

Интеграл (sin(x)/2+cos(x)/2)^2 d{x}

Решение

Вы ввели [src]

  1                      
  /                      
 |                       
 |                   2   
 |  /sin(x)   cos(x)\    
 |  |------ + ------|  dx
 |  \  2        2   /    
 |                       
/                        
0

$$\int\limits_{0}^{1} \left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{2}\right)^{2}\, dx$$

Упростить

Подробное решение

Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
Метод #1
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{2}\right)^{2} = \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{2} + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{4}$
2. Интегрируем почленно:
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \sin^{2}{\left(x \right)}\, dx}{4}$
    1. Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\sin^{2}{\left(x \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}$
    2. Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$
      
      пусть $u = 2 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$
      
      Результат есть: $\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{x}{8} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{16}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx}{2}$
    1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
      
      Метод #1
      
      пусть $u = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$ :
      
      $\int u\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- u\right)\, du = - \int u\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{2}}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$
      
      Метод #2
      
      пусть $u = \sin{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$ :
      
      $\int u\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{2}$
    Таким образом, результат будет: $- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{4}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx}{4}$
    1. Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\cos^{2}{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
    2. Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$
      
      пусть $u = 2 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
      
      Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{x}{8} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{16}$
  Результат есть: $\frac{x}{4} - \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{4}$
Метод #2
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{2}\right)^{2} = \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{2} + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{4}$
2. Интегрируем почленно:
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \sin^{2}{\left(x \right)}\, dx}{4}$
    1. Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\sin^{2}{\left(x \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}$
    2. Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$
      
      пусть $u = 2 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$
      
      Результат есть: $\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{x}{8} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{16}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx}{2}$
    1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$ :
      
      $\int u\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- u\right)\, du = - \int u\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{2}}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$
    Таким образом, результат будет: $- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{4}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx}{4}$
    1. Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\cos^{2}{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
    2. Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$
      
      пусть $u = 2 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
      
      Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{x}{8} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{16}$
  Результат есть: $\frac{x}{4} - \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{4}$
Добавляем постоянную интегрирования:

$\frac{x}{4} - \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{x}{4} - \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$

Ответ (Неопределённый) [src]

  /                                       
 |                                        
 |                  2             2       
 | /sin(x)   cos(x)\           cos (x)   x
 | |------ + ------|  dx = C - ------- + -
 | \  2        2   /              4      4
 |                                        
/

$${{{{\sin \left(2\,x\right)}\over{2}}+x}\over{8}}+{{x-{{\sin \left(2 \,x\right)}\over{2}}}\over{8}}-{{\cos ^2x}\over{4}}$$

Упростить

График

Построить график f(x)

Ответ [src]

   2         2   
sin (1)   cos (1)
------- + -------
   2         4

$${{\sin 2+2}\over{16}}-{{\sin 2-2}\over{16}}-{{\cos ^21}\over{4}}+{{ 1}\over{4}}$$

   2         2   
sin (1)   cos (1)
------- + -------
   2         4

$$\frac{\cos^{2}{\left(1 \right)}}{4} + \frac{\sin^{2}{\left(1 \right)}}{2}$$

Упростить

Численный ответ [src]

0.427018354568393

0.427018354568393

График

$Интеграл (sin(x)/2+cos(x)/2)^2 d{x}$

Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Интеграл (sin(x)/2+cos(x)/2)^2 d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #1

Метод #2

Метод #2