Интеграл x/(x+1) d{x}

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\frac{x}{x + 1} = 1 - \frac{1}{x + 1}$

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int 1\, dx = x$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \left(- \frac{1}{x + 1}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x + 1}\, dx$

      1. пусть $u = x + 1$.

         Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\log{\left(x + 1 \right)}$

      Таким образом, результат будет: $- \log{\left(x + 1 \right)}$

   Результат есть: $x - \log{\left(x + 1 \right)}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $x - \log{\left(x + 1 \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$x - \log{\left(x + 1 \right)}+ \mathrm{constant}$