Интеграл (3*x+2)*e^x d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(3 x + 2\right) e^{x} = 3 x e^{x} + 2 e^{x}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 3 x e^{x}\, dx = 3 \int x e^{x}\, dx$

         1. Используем интегрирование по частям:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            пусть $u{\left(x \right)} = x$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}$.

            Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

            Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

               $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

            Теперь решаем под-интеграл.

         2. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

            $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

         Таким образом, результат будет: $3 x e^{x} - 3 e^{x}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 2 e^{x}\, dx = 2 \int e^{x}\, dx$

         1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

            $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

         Таким образом, результат будет: $2 e^{x}$

      Результат есть: $3 x e^{x} - e^{x}$

   Метод #2

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left(x \right)} = 3 x + 2$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}$.

      Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 3$.

      Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

      1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

         $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 3 e^{x}\, dx = 3 \int e^{x}\, dx$

      1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

         $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

      Таким образом, результат будет: $3 e^{x}$

2. Теперь упростить:

   $\left(3 x - 1\right) e^{x}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\left(3 x - 1\right) e^{x}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\left(3 x - 1\right) e^{x}+ \mathrm{constant}$