Интеграл sin(x^(1/3)) d{x}

1. пусть $u = \sqrt[3]{x}$.

   Тогда пусть $du = \frac{dx}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ и подставим $3 du$:

   $\int 9 u^{2} \sin{\left(u \right)}\, du$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 3 u^{2} \sin{\left(u \right)}\, du = 3 \int u^{2} \sin{\left(u \right)}\, du$

      1. Используем интегрирование по частям:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         пусть $u{\left(u \right)} = u^{2}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$.

         Затем $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2 u$.

         Чтобы найти $v{\left(u \right)}$:

         1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

            $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

         Теперь решаем под-интеграл.

      2. Используем интегрирование по частям:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         пусть $u{\left(u \right)} = - 2 u$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$.

         Затем $\operatorname{du}{\left(u \right)} = -2$.

         Чтобы найти $v{\left(u \right)}$:

         1. Интеграл от косинуса есть синус:

            $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

         Теперь решаем под-интеграл.

      3. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 2 \sin{\left(u \right)}\right)\, du = - 2 \int \sin{\left(u \right)}\, du$

         1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

            $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

         Таким образом, результат будет: $2 \cos{\left(u \right)}$

      Таким образом, результат будет: $- 3 u^{2} \cos{\left(u \right)} + 6 u \sin{\left(u \right)} + 6 \cos{\left(u \right)}$

   Если сейчас заменить $u$ ещё в:

   $- 3 x^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\sqrt[3]{x} \right)} + 6 \sqrt[3]{x} \sin{\left(\sqrt[3]{x} \right)} + 6 \cos{\left(\sqrt[3]{x} \right)}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- 3 x^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\sqrt[3]{x} \right)} + 6 \sqrt[3]{x} \sin{\left(\sqrt[3]{x} \right)} + 6 \cos{\left(\sqrt[3]{x} \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$- 3 x^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\sqrt[3]{x} \right)} + 6 \sqrt[3]{x} \sin{\left(\sqrt[3]{x} \right)} + 6 \cos{\left(\sqrt[3]{x} \right)}+ \mathrm{constant}$