Интеграл tan(x)^(5) d{x}

Решение

Вы ввели [src]

  1           
  /           
 |            
 |     5      
 |  tan (x) dx
 |            
/             
0

$$\int\limits_{0}^{1} \tan^{5}{\left(x \right)}\, dx$$

Упростить

Подробное решение

Перепишите подынтегральное выражение:

$\tan^{5}{\left(x \right)} = \left(\sec^{2}{\left(x \right)} - 1\right)^{2} \tan{\left(x \right)}$
Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
Метод #1
1. пусть $u = \sec^{2}{\left(x \right)}$ .
  
  Тогда пусть $du = 2 \tan{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
  
  $\int \frac{u^{2} - 2 u + 1}{4 u}\, du$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \frac{u^{2} - 2 u + 1}{2 u}\, du = \frac{\int \frac{u^{2} - 2 u + 1}{u}\, du}{2}$
    1. Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\frac{u^{2} - 2 u + 1}{u} = u - 2 + \frac{1}{u}$
    2. Интегрируем почленно:
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \left(-2\right)\, du = - 2 u$
      
      Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Результат есть: $\frac{u^{2}}{2} - 2 u + \log{\left(u \right)}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{u^{2}}{4} - u + \frac{\log{\left(u \right)}}{2}$
  Если сейчас заменить $u$ ещё в:
  
  $\frac{\log{\left(\sec^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2} + \frac{\sec^{4}{\left(x \right)}}{4} - \sec^{2}{\left(x \right)}$
Метод #2
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\left(\sec^{2}{\left(x \right)} - 1\right)^{2} \tan{\left(x \right)} = \tan{\left(x \right)} \sec^{4}{\left(x \right)} - 2 \tan{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} + \tan{\left(x \right)}$
2. Интегрируем почленно:
  1. пусть $u = \sec^{4}{\left(x \right)}$ .
    
    Тогда пусть $du = 4 \tan{\left(x \right)} \sec^{4}{\left(x \right)} dx$ и подставим $\frac{du}{4}$ :
    
    $\int \frac{1}{16}\, du$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{1}{4}\, du = \frac{\int 1\, du}{4}$
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int 1\, du = u$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{u}{4}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $\frac{\sec^{4}{\left(x \right)}}{4}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- 2 \tan{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \tan{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx$
    1. пусть $u = \sec^{2}{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 \tan{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{1}{4}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{\int 1\, du}{2}$
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int 1\, du = u$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{u}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sec^{2}{\left(x \right)}}{2}$
    Таким образом, результат будет: $- \sec^{2}{\left(x \right)}$
  1. Перепишите подынтегральное выражение:
    
    $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$
  2. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$ .
    
    Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$ :
    
    $\int \frac{1}{u}\, du$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$
      
      Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Таким образом, результат будет: $- \log{\left(u \right)}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $- \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}$
  Результат есть: $- \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} + \frac{\sec^{4}{\left(x \right)}}{4} - \sec^{2}{\left(x \right)}$
Метод #3
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\left(\sec^{2}{\left(x \right)} - 1\right)^{2} \tan{\left(x \right)} = \tan{\left(x \right)} \sec^{4}{\left(x \right)} - 2 \tan{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} + \tan{\left(x \right)}$
2. Интегрируем почленно:
  1. пусть $u = \sec^{4}{\left(x \right)}$ .
    
    Тогда пусть $du = 4 \tan{\left(x \right)} \sec^{4}{\left(x \right)} dx$ и подставим $\frac{du}{4}$ :
    
    $\int \frac{1}{16}\, du$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{1}{4}\, du = \frac{\int 1\, du}{4}$
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int 1\, du = u$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{u}{4}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $\frac{\sec^{4}{\left(x \right)}}{4}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- 2 \tan{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \tan{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx$
    1. пусть $u = \sec^{2}{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 \tan{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{1}{4}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{\int 1\, du}{2}$
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int 1\, du = u$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{u}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sec^{2}{\left(x \right)}}{2}$
    Таким образом, результат будет: $- \sec^{2}{\left(x \right)}$
  1. Перепишите подынтегральное выражение:
    
    $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$
  2. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$ .
    
    Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$ :
    
    $\int \frac{1}{u}\, du$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$
      
      Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Таким образом, результат будет: $- \log{\left(u \right)}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $- \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}$
  Результат есть: $- \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} + \frac{\sec^{4}{\left(x \right)}}{4} - \sec^{2}{\left(x \right)}$
Добавляем постоянную интегрирования:

$\frac{\log{\left(\sec^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2} + \frac{\sec^{4}{\left(x \right)}}{4} - \sec^{2}{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{\log{\left(\sec^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2} + \frac{\sec^{4}{\left(x \right)}}{4} - \sec^{2}{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ (Неопределённый) [src]

  /                                                 
 |                     /   2   \                4   
 |    5             log\sec (x)/      2      sec (x)
 | tan (x) dx = C + ------------ - sec (x) + -------
 |                       2                      4   
/

$${{4\,\sin ^2x-3}\over{4\,\sin ^4x-8\,\sin ^2x+4}}-{{\log \left( \sin ^2x-1\right)}\over{2}}$$

Упростить

График

Построить график f(x)

Ответ [src]

                            2   
3                 -1 + 4*cos (1)
- - log(cos(1)) - --------------
4                        4      
                    4*cos (1)

$$-{{\log \left(1-\sin ^21\right)}\over{2}}-{{3}\over{4\,\sin ^41-8\, \sin ^21+4}}+{{\sin ^21}\over{\sin ^41-2\,\sin ^21+1}}+{{3}\over{4}}$$

                            2   
3                 -1 + 4*cos (1)
- - log(cos(1)) - --------------
4                        4      
                    4*cos (1)

$$- \frac{-1 + 4 \cos^{2}{\left(1 \right)}}{4 \cos^{4}{\left(1 \right)}} - \log{\left(\cos{\left(1 \right)} \right)} + \frac{3}{4}$$

Упростить

Численный ответ [src]

0.87365244751029

0.87365244751029

График

$Интеграл tan(x)^(5) d{x}$

Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Интеграл tan(x)^(5) d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #2

Метод #3