Интеграл tan(3*log(x)-5)/x d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 3 \log{\left(x \right)} - 5$.

      Тогда пусть $du = \frac{3 dx}{x}$ и подставим $\frac{du}{3}$:

      $\int \frac{\tan{\left(u \right)}}{9}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{\tan{\left(u \right)}}{3}\, du = \frac{\int \tan{\left(u \right)}\, du}{3}$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\tan{\left(u \right)} = \frac{\sin{\left(u \right)}}{\cos{\left(u \right)}}$

         2. пусть $u = \cos{\left(u \right)}$.

            Тогда пусть $du = - \sin{\left(u \right)} du$ и подставим $- du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

               Таким образом, результат будет: $- \log{\left(u \right)}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \log{\left(\cos{\left(u \right)} \right)}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{\log{\left(\cos{\left(u \right)} \right)}}{3}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{\log{\left(\cos{\left(3 \log{\left(x \right)} - 5 \right)} \right)}}{3}$

   Метод #2

   1. пусть $u = \frac{1}{x}$.

      Тогда пусть $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ и подставим $- du$:

      $\int \frac{\tan{\left(3 \log{\left(\frac{1}{u} \right)} - 5 \right)}}{u}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \frac{\tan{\left(3 \log{\left(\frac{1}{u} \right)} - 5 \right)}}{u}\right)\, du = - \int \frac{\tan{\left(3 \log{\left(\frac{1}{u} \right)} - 5 \right)}}{u}\, du$

         1. пусть $u = 3 \log{\left(\frac{1}{u} \right)} - 5$.

            Тогда пусть $du = - \frac{3 du}{u}$ и подставим $- \frac{du}{3}$:

            $\int \frac{\tan{\left(u \right)}}{9}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \left(- \frac{\tan{\left(u \right)}}{3}\right)\, du = - \frac{\int \tan{\left(u \right)}\, du}{3}$

               1. Перепишите подынтегральное выражение:

                  $\tan{\left(u \right)} = \frac{\sin{\left(u \right)}}{\cos{\left(u \right)}}$

               2. пусть $u = \cos{\left(u \right)}$.

                  Тогда пусть $du = - \sin{\left(u \right)} du$ и подставим $- du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$

                     1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

                     Таким образом, результат будет: $- \log{\left(u \right)}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $- \log{\left(\cos{\left(u \right)} \right)}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(\cos{\left(u \right)} \right)}}{3}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{\log{\left(\cos{\left(3 \log{\left(\frac{1}{u} \right)} - 5 \right)} \right)}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{\log{\left(\cos{\left(3 \log{\left(\frac{1}{u} \right)} - 5 \right)} \right)}}{3}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{\log{\left(\cos{\left(3 \log{\left(x \right)} - 5 \right)} \right)}}{3}$

2. Теперь упростить:

   $- \frac{\log{\left(\cos{\left(3 \log{\left(x \right)} - 5 \right)} \right)}}{3}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{\log{\left(\cos{\left(3 \log{\left(x \right)} - 5 \right)} \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$- \frac{\log{\left(\cos{\left(3 \log{\left(x \right)} - 5 \right)} \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$