Интеграл tan(5*x) d{x}

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\tan{\left(5 x \right)} = \frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\cos{\left(5 x \right)}}$

2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = \cos{\left(5 x \right)}$.

      Тогда пусть $du = - 5 \sin{\left(5 x \right)} dx$ и подставим $- \frac{du}{5}$:

      $\int \frac{1}{25 u}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \frac{1}{5 u}\right)\, du = - \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{5}$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

         Таким образом, результат будет: $- \frac{\log{\left(u \right)}}{5}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{\log{\left(\cos{\left(5 x \right)} \right)}}{5}$

   Метод #2

   1. пусть $u = 5 x$.

      Тогда пусть $du = 5 dx$ и подставим $\frac{du}{5}$:

      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{25 \cos{\left(u \right)}}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{5 \cos{\left(u \right)}}\, du = \frac{\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\cos{\left(u \right)}}\, du}{5}$

         1. пусть $u = \cos{\left(u \right)}$.

            Тогда пусть $du = - \sin{\left(u \right)} du$ и подставим $- du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

               Таким образом, результат будет: $- \log{\left(u \right)}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \log{\left(\cos{\left(u \right)} \right)}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{\log{\left(\cos{\left(u \right)} \right)}}{5}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{\log{\left(\cos{\left(5 x \right)} \right)}}{5}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{\log{\left(\cos{\left(5 x \right)} \right)}}{5}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$- \frac{\log{\left(\cos{\left(5 x \right)} \right)}}{5}+ \mathrm{constant}$