Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

$Найти интеграл от y = f({x}) = sin(x)^(3)*cos(x)^(8) dx (синус от (x) в степени (3) умножить на косинус от (x) в степени (8)) - с подробным решением [Есть ОТВЕТ!]$

Как пользоваться?
Интеграл d{x}:
Интеграл 1/(3*sqrt(x))
Интеграл (cos(3*x))^4
Интеграл (cos(x)+1)
Интеграл sqrt(1+(sinh(x)^2))
Идентичные выражения
sin(x)^(три)*cos(x)^(восемь)
синус от (x) в степени (3) умножить на косинус от (x) в степени (8)
синус от (x) в степени (три) умножить на косинус от (x) в степени (восемь)
sin(x)(3)*cos(x)(8)
sinx3*cosx8
sin(x)^(3)cos(x)^(8)
sin(x)(3)cos(x)(8)
sinx3cosx8
sinx^3cosx^8
sin(x)^(3)*cos(x)^(8)dx
Похожие выражения
sin(x)^3*cos(x)^8
sinx^(3)*cosx^(8)

Решение интегралов/ sin(x)^(3)*cos(x)^(8)

Интеграл sin(x)^(3)*cos(x)^(8) d{x}

Решение

Вы ввели [src]

  1                   
  /                   
 |                    
 |     3       8      
 |  sin (x)*cos (x) dx
 |                    
/                     
0

$$\int\limits_{0}^{1} \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{8}{\left(x \right)}\, dx$$

Упростить

Подробное решение

Перепишите подынтегральное выражение:

$\sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{8}{\left(x \right)} = \left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} \cos^{8}{\left(x \right)}$
Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
Метод #1
1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$ .
  
  Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$ :
  
  $\int \left(u^{10} - u^{8}\right)\, du$
  1. Интегрируем почленно:
    1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{10}\, du = \frac{u^{11}}{11}$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- u^{8}\right)\, du = - \int u^{8}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{9}}{9}$
    Результат есть: $\frac{u^{11}}{11} - \frac{u^{9}}{9}$
  Если сейчас заменить $u$ ещё в:
  
  $\frac{\cos^{11}{\left(x \right)}}{11} - \frac{\cos^{9}{\left(x \right)}}{9}$
Метод #2
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} \cos^{8}{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)} \cos^{10}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} \cos^{8}{\left(x \right)}$
2. Интегрируем почленно:
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- \sin{\left(x \right)} \cos^{10}{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(x \right)} \cos^{10}{\left(x \right)}\, dx$
    1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$ :
      
      $\int u^{10}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- u^{10}\right)\, du = - \int u^{10}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{10}\, du = \frac{u^{11}}{11}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{11}}{11}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\cos^{11}{\left(x \right)}}{11}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{\cos^{11}{\left(x \right)}}{11}$
  1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$ .
    
    Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$ :
    
    $\int u^{8}\, du$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- u^{8}\right)\, du = - \int u^{8}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{9}}{9}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $- \frac{\cos^{9}{\left(x \right)}}{9}$
  Результат есть: $\frac{\cos^{11}{\left(x \right)}}{11} - \frac{\cos^{9}{\left(x \right)}}{9}$
Метод #3
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} \cos^{8}{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)} \cos^{10}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} \cos^{8}{\left(x \right)}$
2. Интегрируем почленно:
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- \sin{\left(x \right)} \cos^{10}{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(x \right)} \cos^{10}{\left(x \right)}\, dx$
    1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$ :
      
      $\int u^{10}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- u^{10}\right)\, du = - \int u^{10}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{10}\, du = \frac{u^{11}}{11}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{11}}{11}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\cos^{11}{\left(x \right)}}{11}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{\cos^{11}{\left(x \right)}}{11}$
  1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$ .
    
    Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$ :
    
    $\int u^{8}\, du$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- u^{8}\right)\, du = - \int u^{8}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{9}}{9}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $- \frac{\cos^{9}{\left(x \right)}}{9}$
  Результат есть: $\frac{\cos^{11}{\left(x \right)}}{11} - \frac{\cos^{9}{\left(x \right)}}{9}$
Добавляем постоянную интегрирования:

$\frac{\cos^{11}{\left(x \right)}}{11} - \frac{\cos^{9}{\left(x \right)}}{9}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{\cos^{11}{\left(x \right)}}{11} - \frac{\cos^{9}{\left(x \right)}}{9}+ \mathrm{constant}$

Ответ (Неопределённый) [src]

  /                                           
 |                             9         11   
 |    3       8             cos (x)   cos  (x)
 | sin (x)*cos (x) dx = C - ------- + --------
 |                             9         11   
/

$${{9\,\cos ^{11}x-11\,\cos ^9x}\over{99}}$$

Упростить

График

Построить график f(x)

Ответ [src]

        9         11   
2    cos (1)   cos  (1)
-- - ------- + --------
99      9         11

$${{9\,\cos ^{11}1-11\,\cos ^91}\over{99}}+{{2}\over{99}}$$

        9         11   
2    cos (1)   cos  (1)
-- - ------- + --------
99      9         11

$$- \frac{\cos^{9}{\left(1 \right)}}{9} + \frac{\cos^{11}{\left(1 \right)}}{11} + \frac{2}{99}$$

Упростить

Численный ответ [src]

0.0198701565488483

0.0198701565488483

График

$Интеграл sin(x)^(3)*cos(x)^(8) d{x}$

Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Интеграл sin(x)^(3)*cos(x)^(8) d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #2

Метод #3