Интеграл (sin(x))^(-4) d{x}

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\csc^{4}{\left(x \right)} = \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \csc^{2}{\left(x \right)}$

2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = \cot{\left(x \right)}$.

      Тогда пусть $du = \left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) dx$ и подставим $du$:

      $\int \left(- u^{2} - 1\right)\, du$

      1. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{3}$

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int \left(-1\right)\, du = - u$

         Результат есть: $- \frac{u^{3}}{3} - u$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{\cot^{3}{\left(x \right)}}{3} - \cot{\left(x \right)}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \csc^{2}{\left(x \right)} = \cot^{2}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)} + \csc^{2}{\left(x \right)}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. пусть $u = \cot{\left(x \right)}$.

         Тогда пусть $du = \left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) dx$ и подставим $- du$:

         $\int u^{2}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{3}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{\cot^{3}{\left(x \right)}}{3}$

      1. $\int \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx = - \cot{\left(x \right)}$

      Результат есть: $- \frac{\cot^{3}{\left(x \right)}}{3} - \cot{\left(x \right)}$

   Метод #3

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \csc^{2}{\left(x \right)} = \cot^{2}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)} + \csc^{2}{\left(x \right)}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. пусть $u = \cot{\left(x \right)}$.

         Тогда пусть $du = \left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) dx$ и подставим $- du$:

         $\int u^{2}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{3}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{\cot^{3}{\left(x \right)}}{3}$

      1. $\int \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx = - \cot{\left(x \right)}$

      Результат есть: $- \frac{\cot^{3}{\left(x \right)}}{3} - \cot{\left(x \right)}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{\cot^{3}{\left(x \right)}}{3} - \cot{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$- \frac{\cot^{3}{\left(x \right)}}{3} - \cot{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$