Интеграл sin(2*x/3) d{x}

1. пусть $u = \frac{2 x}{3}$.

   Тогда пусть $du = \frac{2 dx}{3}$ и подставим $\frac{3 du}{2}$:

   $\int \frac{9 \sin{\left(u \right)}}{4}\, du$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{3 \sin{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{3 \int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}$

      1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

         $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{3 \cos{\left(u \right)}}{2}$

   Если сейчас заменить $u$ ещё в:

   $- \frac{3 \cos{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}{2}$

2. Теперь упростить:

   $- \frac{3 \cos{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}{2}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{3 \cos{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$- \frac{3 \cos{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$