Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
-
sin(2*x/3)
-
sqrt(x)-1
-
log(x^2+1)
- x^3+5*sqrt(x)+7
- Производная:
-
sin(2*x/3)
- Интеграл d{x}:
-
sin(2*x/3)
-
Идентичные выражения
- sin(два *x/ три)
- синус от (2 умножить на x делить на 3)
- синус от (два умножить на x делить на три)
- sin(2x/3)
- sin2x/3
- sin(2*x разделить на 3)
График функции y = sin(2*x/3)
Решение
Вы ввели
[src]
/2*x\
f(x) = sin|---|
\ 3 /
$$f{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)}$$
f = sin(2*x/3)
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = -51.8362787842316$$
$$x_{2} = -89.5353906273091$$
$$x_{3} = 28.2743338823081$$
$$x_{4} = -28.2743338823081$$
$$x_{5} = -37.6991118430775$$
$$x_{6} = 37.6991118430775$$
$$x_{7} = 56.5486677646163$$
$$x_{8} = -61.261056745001$$
$$x_{9} = 84.8230016469244$$
$$x_{10} = 47.1238898038469$$
$$x_{11} = 4.71238898038469$$
$$x_{12} = 32.9867228626928$$
$$x_{13} = 75.398223686155$$
$$x_{14} = -84.8230016469244$$
$$x_{15} = 89.5353906273091$$
$$x_{16} = -23.5619449019235$$
$$x_{17} = -18.8495559215388$$
$$x_{18} = -47.1238898038469$$
$$x_{19} = -75.398223686155$$
$$x_{20} = 42.4115008234622$$
$$x_{21} = -65.9734457253857$$
$$x_{22} = -80.1106126665397$$
$$x_{23} = 80.1106126665397$$
$$x_{24} = 0$$
$$x_{25} = 9.42477796076938$$
$$x_{26} = 23.5619449019235$$
$$x_{27} = 14.1371669411541$$
$$x_{28} = -98.9601685880785$$
$$x_{29} = 61.261056745001$$
$$x_{30} = -14.1371669411541$$
$$x_{31} = 98.9601685880785$$
$$x_{32} = 18.8495559215388$$
$$x_{33} = -2148.84937505542$$
$$x_{34} = 65.9734457253857$$
$$x_{35} = 70.6858347057703$$
$$x_{36} = -94.2477796076938$$
$$x_{37} = -70.6858347057703$$
$$x_{38} = -4.71238898038469$$
$$x_{39} = 94.2477796076938$$
$$x_{40} = -9.42477796076938$$
$$x_{41} = 51.8362787842316$$
$$x_{42} = -42.4115008234622$$
$$x_{43} = -56.5486677646163$$
$$x_{44} = -32.9867228626928$$
значит надо решить уравнение:
$$\sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = -51.8362787842316$$
$$x_{2} = -89.5353906273091$$
$$x_{3} = 28.2743338823081$$
$$x_{4} = -28.2743338823081$$
$$x_{5} = -37.6991118430775$$
$$x_{6} = 37.6991118430775$$
$$x_{7} = 56.5486677646163$$
$$x_{8} = -61.261056745001$$
$$x_{9} = 84.8230016469244$$
$$x_{10} = 47.1238898038469$$
$$x_{11} = 4.71238898038469$$
$$x_{12} = 32.9867228626928$$
$$x_{13} = 75.398223686155$$
$$x_{14} = -84.8230016469244$$
$$x_{15} = 89.5353906273091$$
$$x_{16} = -23.5619449019235$$
$$x_{17} = -18.8495559215388$$
$$x_{18} = -47.1238898038469$$
$$x_{19} = -75.398223686155$$
$$x_{20} = 42.4115008234622$$
$$x_{21} = -65.9734457253857$$
$$x_{22} = -80.1106126665397$$
$$x_{23} = 80.1106126665397$$
$$x_{24} = 0$$
$$x_{25} = 9.42477796076938$$
$$x_{26} = 23.5619449019235$$
$$x_{27} = 14.1371669411541$$
$$x_{28} = -98.9601685880785$$
$$x_{29} = 61.261056745001$$
$$x_{30} = -14.1371669411541$$
$$x_{31} = 98.9601685880785$$
$$x_{32} = 18.8495559215388$$
$$x_{33} = -2148.84937505542$$
$$x_{34} = 65.9734457253857$$
$$x_{35} = 70.6858347057703$$
$$x_{36} = -94.2477796076938$$
$$x_{37} = -70.6858347057703$$
$$x_{38} = -4.71238898038469$$
$$x_{39} = 94.2477796076938$$
$$x_{40} = -9.42477796076938$$
$$x_{41} = 51.8362787842316$$
$$x_{42} = -42.4115008234622$$
$$x_{43} = -56.5486677646163$$
$$x_{44} = -32.9867228626928$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{2 \cos{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}{3} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{9 \pi}{4}$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{9 \pi}{4}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{3 \pi}{4}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{3 \pi}{4}\right] \cup \left[\frac{9 \pi}{4}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[\frac{3 \pi}{4}, \frac{9 \pi}{4}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{2 \cos{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}{3} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{9 \pi}{4}$$
Зн. экстремумы в точках:
3*pi (----, 1) 4
9*pi (----, -1) 4
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{9 \pi}{4}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{3 \pi}{4}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{3 \pi}{4}\right] \cup \left[\frac{9 \pi}{4}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[\frac{3 \pi}{4}, \frac{9 \pi}{4}\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- \frac{4 \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}{9} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{2}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[0, \frac{3 \pi}{2}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- \frac{4 \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}{9} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{2}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[0, \frac{3 \pi}{2}\right]$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty} \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty} \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty} \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(2*x/3), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)} = - \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)}$$
- Нет
$$\sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)} = \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)} = - \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)}$$
- Нет
$$\sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)} = \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График