Господин Экзамен

Другие калькуляторы


(cos(x))^8

Интеграл (cos(x))^8 d{x}

Пределы интегрирования:

от до
v

График:

от до

Кусочно-заданная:

Решение

Вы ввели [src]
  1           
  /           
 |            
 |     8      
 |  cos (x) dx
 |            
/             
0             
$$\int\limits_{0}^{1} \cos^{8}{\left(x \right)}\, dx$$
Подробное решение
  1. Перепишите подынтегральное выражение:

  2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

    Метод #1

    1. Перепишите подынтегральное выражение:

    2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        1. Перепишите подынтегральное выражение:

        2. Перепишите подынтегральное выражение:

        3. Интегрируем почленно:

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

            2. Интегрируем почленно:

              1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                1. пусть .

                  Тогда пусть и подставим :

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                    1. Интеграл от косинуса есть синус:

                    Таким образом, результат будет:

                  Если сейчас заменить ещё в:

                Таким образом, результат будет:

              1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

              Результат есть:

            Таким образом, результат будет:

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            1. пусть .

              Тогда пусть и подставим :

              1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                1. Интеграл от косинуса есть синус:

                Таким образом, результат будет:

              Если сейчас заменить ещё в:

            Таким образом, результат будет:

          1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

          Результат есть:

        Таким образом, результат будет:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        1. Перепишите подынтегральное выражение:

        2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

          Метод #1

          1. пусть .

            Тогда пусть и подставим :

            1. Интегрируем почленно:

              1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

              1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                1. Интеграл есть когда :

                Таким образом, результат будет:

              Результат есть:

            Если сейчас заменить ещё в:

          Метод #2

          1. Перепишите подынтегральное выражение:

          2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              1. пусть .

                Тогда пусть и подставим :

                1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  1. Интеграл есть когда :

                  Таким образом, результат будет:

                Если сейчас заменить ещё в:

              Таким образом, результат будет:

            1. пусть .

              Тогда пусть и подставим :

              1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                1. Интеграл от косинуса есть синус:

                Таким образом, результат будет:

              Если сейчас заменить ещё в:

            Результат есть:

          Метод #3

          1. Перепишите подынтегральное выражение:

          2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              1. пусть .

                Тогда пусть и подставим :

                1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  1. Интеграл есть когда :

                  Таким образом, результат будет:

                Если сейчас заменить ещё в:

              Таким образом, результат будет:

            1. пусть .

              Тогда пусть и подставим :

              1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                1. Интеграл от косинуса есть синус:

                Таким образом, результат будет:

              Если сейчас заменить ещё в:

            Результат есть:

        Таким образом, результат будет:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        1. Перепишите подынтегральное выражение:

        2. Интегрируем почленно:

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            1. пусть .

              Тогда пусть и подставим :

              1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                1. Интеграл от косинуса есть синус:

                Таким образом, результат будет:

              Если сейчас заменить ещё в:

            Таким образом, результат будет:

          1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

          Результат есть:

        Таким образом, результат будет:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        1. пусть .

          Тогда пусть и подставим :

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            1. Интеграл от косинуса есть синус:

            Таким образом, результат будет:

          Если сейчас заменить ещё в:

        Таким образом, результат будет:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      Результат есть:

    Метод #2

    1. Перепишите подынтегральное выражение:

    2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        1. Перепишите подынтегральное выражение:

        2. Перепишите подынтегральное выражение:

        3. Интегрируем почленно:

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

            2. Интегрируем почленно:

              1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                1. пусть .

                  Тогда пусть и подставим :

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                    1. Интеграл от косинуса есть синус:

                    Таким образом, результат будет:

                  Если сейчас заменить ещё в:

                Таким образом, результат будет:

              1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

              Результат есть:

            Таким образом, результат будет:

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            1. пусть .

              Тогда пусть и подставим :

              1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                1. Интеграл от косинуса есть синус:

                Таким образом, результат будет:

              Если сейчас заменить ещё в:

            Таким образом, результат будет:

          1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

          Результат есть:

        Таким образом, результат будет:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        1. Перепишите подынтегральное выражение:

        2. пусть .

          Тогда пусть и подставим :

          1. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              1. Интеграл есть когда :

              Таким образом, результат будет:

            Результат есть:

          Если сейчас заменить ещё в:

        Таким образом, результат будет:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        1. Перепишите подынтегральное выражение:

        2. Интегрируем почленно:

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            1. пусть .

              Тогда пусть и подставим :

              1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                1. Интеграл от косинуса есть синус:

                Таким образом, результат будет:

              Если сейчас заменить ещё в:

            Таким образом, результат будет:

          1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

          Результат есть:

        Таким образом, результат будет:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        1. пусть .

          Тогда пусть и подставим :

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            1. Интеграл от косинуса есть синус:

            Таким образом, результат будет:

          Если сейчас заменить ещё в:

        Таким образом, результат будет:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      Результат есть:

  3. Добавляем постоянную интегрирования:


Ответ:

Ответ (Неопределённый) [src]
  /                                                                    
 |                     3                                               
 |    8             sin (2*x)   sin(2*x)   sin(8*x)   7*sin(4*x)   35*x
 | cos (x) dx = C - --------- + -------- + -------- + ---------- + ----
 |                      24         4         1024        128       128 
/                                                                      
$${{{{{{{{\sin \left(8\,x\right)}\over{2}}+4\,x}\over{8}}+{{\sin \left(4\,x\right)}\over{2}}+x}\over{32}}+{{3\,\left({{\sin \left(4\, x\right)}\over{2}}+2\,x\right)}\over{16}}+{{\sin \left(2\,x\right)- {{\sin ^3\left(2\,x\right)}\over{3}}}\over{4}}+{{\sin \left(2\,x \right)}\over{4}}+{{x}\over{8}}}\over{2}}$$
График
Ответ [src]
         7                  5                                      3          
 35   cos (1)*sin(1)   7*cos (1)*sin(1)   35*cos(1)*sin(1)   35*cos (1)*sin(1)
--- + -------------- + ---------------- + ---------------- + -----------------
128         8                 48                128                 192       
$${{3\,\sin 8+168\,\sin 4-128\,\sin ^32+768\,\sin 2+840}\over{3072}}$$
=
=
         7                  5                                      3          
 35   cos (1)*sin(1)   7*cos (1)*sin(1)   35*cos(1)*sin(1)   35*cos (1)*sin(1)
--- + -------------- + ---------------- + ---------------- + -----------------
128         8                 48                128                 192       
$$\frac{\sin{\left(1 \right)} \cos^{7}{\left(1 \right)}}{8} + \frac{7 \sin{\left(1 \right)} \cos^{5}{\left(1 \right)}}{48} + \frac{35 \sin{\left(1 \right)} \cos^{3}{\left(1 \right)}}{192} + \frac{35 \sin{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)}}{128} + \frac{35}{128}$$
Численный ответ [src]
0.429014267712445
0.429014267712445
График
Интеграл (cos(x))^8 d{x}

    Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.