Господин Экзамен

Другие калькуляторы

cos(x)^(8)*dx
Решение интегралов/ cos(x)^(8)*dx

Интеграл cos(x)^(8)*dx d{x}

Пределы интегрирования:

от до
v

График:

от до

Кусочно-заданная:

Решение

Вы ввели [src] 
  1             
  /             
 |              
 |     8        
 |  cos (x)*1 dx
 |              
/               
0
∫01cos⁡8(x)1 dx\int\limits_{0}^{1} \cos^{8}{\left(x \right)} 1\, dx
Упростить
Подробное решение

  1. Перепишите подынтегральное выражение:

    cos⁡8(x)1=(cos⁡(2x)2+12)4\cos^{8}{\left(x \right)} 1 = \left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{4}

  2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

    Метод #1

    1. Перепишите подынтегральное выражение:

      (cos⁡(2x)2+12)4=cos⁡4(2x)16+cos⁡3(2x)4+3cos⁡2(2x)8+cos⁡(2x)4+116\left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{4} = \frac{\cos^{4}{\left(2 x \right)}}{16} + \frac{\cos^{3}{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{3 \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{8} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{1}{16}

    2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        ∫cos⁡4(2x)16 dx=∫cos⁡4(2x) dx16\int \frac{\cos^{4}{\left(2 x \right)}}{16}\, dx = \frac{\int \cos^{4}{\left(2 x \right)}\, dx}{16}

        1. Перепишите подынтегральное выражение:

          cos⁡4(2x)=(cos⁡(4x)2+12)2\cos^{4}{\left(2 x \right)} = \left(\frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2}

        2. Перепишите подынтегральное выражение:

          (cos⁡(4x)2+12)2=cos⁡2(4x)4+cos⁡(4x)2+14\left(\frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(4 x \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{4}

        3. Интегрируем почленно:

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            ∫cos⁡2(4x)4 dx=∫cos⁡2(4x) dx4\int \frac{\cos^{2}{\left(4 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(4 x \right)}\, dx}{4}

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

              cos⁡2(4x)=cos⁡(8x)2+12\cos^{2}{\left(4 x \right)} = \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

            2. Интегрируем почленно:

              1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                ∫cos⁡(8x)2 dx=∫cos⁡(8x) dx2\int \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(8 x \right)}\, dx}{2}

                1. пусть u=8xu = 8 x.

                  Тогда пусть du=8dxdu = 8 dx и подставим du8\frac{du}{8}:

                  ∫cos⁡(u)64 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{64}\, du

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                    ∫cos⁡(u)8 du=∫cos⁡(u) du8\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{8}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{8}

                    1. Интеграл от косинуса есть синус:

                      ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                    Таким образом, результат будет: sin⁡(u)8\frac{\sin{\left(u \right)}}{8}

                  Если сейчас заменить uu ещё в:

                  sin⁡(8x)8\frac{\sin{\left(8 x \right)}}{8}

                Таким образом, результат будет: sin⁡(8x)16\frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16}

              1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

              Результат есть: x2+sin⁡(8x)16\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16}

            Таким образом, результат будет: x8+sin⁡(8x)64\frac{x}{8} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{64}

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            ∫cos⁡(4x)2 dx=∫cos⁡(4x) dx2\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}

            1. пусть u=4xu = 4 x.

              Тогда пусть du=4dxdu = 4 dx и подставим du4\frac{du}{4}:

              ∫cos⁡(u)16 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{16}\, du

              1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                ∫cos⁡(u)4 du=∫cos⁡(u) du4\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

                1. Интеграл от косинуса есть синус:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Таким образом, результат будет: sin⁡(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

              Если сейчас заменить uu ещё в:

              sin⁡(4x)4\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

            Таким образом, результат будет: sin⁡(4x)8\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

          1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            ∫14 dx=x4\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}

          Результат есть: 3x8+sin⁡(4x)8+sin⁡(8x)64\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{64}

        Таким образом, результат будет: 3x128+sin⁡(4x)128+sin⁡(8x)1024\frac{3 x}{128} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{128} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{1024}

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        ∫cos⁡3(2x)4 dx=∫cos⁡3(2x) dx4\int \frac{\cos^{3}{\left(2 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{3}{\left(2 x \right)}\, dx}{4}

        1. Перепишите подынтегральное выражение:

          cos⁡3(2x)=(1−sin⁡2(2x))cos⁡(2x)\cos^{3}{\left(2 x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(2 x \right)}\right) \cos{\left(2 x \right)}

        2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

          Метод #1

          1. пусть u=sin⁡(2x)u = \sin{\left(2 x \right)}.

            Тогда пусть du=2cos⁡(2x)dxdu = 2 \cos{\left(2 x \right)} dx и подставим dudu:

            ∫(12−u22) du\int \left(\frac{1}{2} - \frac{u^{2}}{2}\right)\, du

            1. Интегрируем почленно:

              1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                ∫12 du=u2\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}

              1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                ∫(−u22) du=−∫u2 du2\int \left(- \frac{u^{2}}{2}\right)\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{2}

                1. Интеграл unu^{n} есть un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} когда n≠−1n \neq -1:

                  ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

                Таким образом, результат будет: −u36- \frac{u^{3}}{6}

              Результат есть: −u36+u2- \frac{u^{3}}{6} + \frac{u}{2}

            Если сейчас заменить uu ещё в:

            −sin⁡3(2x)6+sin⁡(2x)2- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{6} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

          Метод #2

          1. Перепишите подынтегральное выражение:

            (1−sin⁡2(2x))cos⁡(2x)=−sin⁡2(2x)cos⁡(2x)+cos⁡(2x)\left(1 - \sin^{2}{\left(2 x \right)}\right) \cos{\left(2 x \right)} = - \sin^{2}{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}

          2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              ∫(−sin⁡2(2x)cos⁡(2x)) dx=−∫sin⁡2(2x)cos⁡(2x) dx\int \left(- \sin^{2}{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{2}{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\, dx

              1. пусть u=sin⁡(2x)u = \sin{\left(2 x \right)}.

                Тогда пусть du=2cos⁡(2x)dxdu = 2 \cos{\left(2 x \right)} dx и подставим du2\frac{du}{2}:

                ∫u24 du\int \frac{u^{2}}{4}\, du

                1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  ∫u22 du=∫u2 du2\int \frac{u^{2}}{2}\, du = \frac{\int u^{2}\, du}{2}

                  1. Интеграл unu^{n} есть un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} когда n≠−1n \neq -1:

                    ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

                  Таким образом, результат будет: u36\frac{u^{3}}{6}

                Если сейчас заменить uu ещё в:

                sin⁡3(2x)6\frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{6}

              Таким образом, результат будет: −sin⁡3(2x)6- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{6}

            1. пусть u=2xu = 2 x.

              Тогда пусть du=2dxdu = 2 dx и подставим du2\frac{du}{2}:

              ∫cos⁡(u)4 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

              1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                ∫cos⁡(u)2 du=∫cos⁡(u) du2\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                1. Интеграл от косинуса есть синус:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Таким образом, результат будет: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

              Если сейчас заменить uu ещё в:

              sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

            Результат есть: −sin⁡3(2x)6+sin⁡(2x)2- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{6} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

          Метод #3

          1. Перепишите подынтегральное выражение:

            (1−sin⁡2(2x))cos⁡(2x)=−sin⁡2(2x)cos⁡(2x)+cos⁡(2x)\left(1 - \sin^{2}{\left(2 x \right)}\right) \cos{\left(2 x \right)} = - \sin^{2}{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}

          2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              ∫(−sin⁡2(2x)cos⁡(2x)) dx=−∫sin⁡2(2x)cos⁡(2x) dx\int \left(- \sin^{2}{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{2}{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\, dx

              1. пусть u=sin⁡(2x)u = \sin{\left(2 x \right)}.

                Тогда пусть du=2cos⁡(2x)dxdu = 2 \cos{\left(2 x \right)} dx и подставим du2\frac{du}{2}:

                ∫u24 du\int \frac{u^{2}}{4}\, du

                1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  ∫u22 du=∫u2 du2\int \frac{u^{2}}{2}\, du = \frac{\int u^{2}\, du}{2}

                  1. Интеграл unu^{n} есть un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} когда n≠−1n \neq -1:

                    ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

                  Таким образом, результат будет: u36\frac{u^{3}}{6}

                Если сейчас заменить uu ещё в:

                sin⁡3(2x)6\frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{6}

              Таким образом, результат будет: −sin⁡3(2x)6- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{6}

            1. пусть u=2xu = 2 x.

              Тогда пусть du=2dxdu = 2 dx и подставим du2\frac{du}{2}:

              ∫cos⁡(u)4 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

              1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                ∫cos⁡(u)2 du=∫cos⁡(u) du2\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                1. Интеграл от косинуса есть синус:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Таким образом, результат будет: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

              Если сейчас заменить uu ещё в:

              sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

            Результат есть: −sin⁡3(2x)6+sin⁡(2x)2- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{6} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

        Таким образом, результат будет: −sin⁡3(2x)24+sin⁡(2x)8- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{24} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{8}

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        ∫3cos⁡2(2x)8 dx=3∫cos⁡2(2x) dx8\int \frac{3 \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{8}\, dx = \frac{3 \int \cos^{2}{\left(2 x \right)}\, dx}{8}

        1. Перепишите подынтегральное выражение:

          cos⁡2(2x)=cos⁡(4x)2+12\cos^{2}{\left(2 x \right)} = \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

        2. Интегрируем почленно:

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            ∫cos⁡(4x)2 dx=∫cos⁡(4x) dx2\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}

            1. пусть u=4xu = 4 x.

              Тогда пусть du=4dxdu = 4 dx и подставим du4\frac{du}{4}:

              ∫cos⁡(u)16 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{16}\, du

              1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                ∫cos⁡(u)4 du=∫cos⁡(u) du4\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

                1. Интеграл от косинуса есть синус:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Таким образом, результат будет: sin⁡(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

              Если сейчас заменить uu ещё в:

              sin⁡(4x)4\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

            Таким образом, результат будет: sin⁡(4x)8\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

          1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

          Результат есть: x2+sin⁡(4x)8\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

        Таким образом, результат будет: 3x16+3sin⁡(4x)64\frac{3 x}{16} + \frac{3 \sin{\left(4 x \right)}}{64}

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        ∫cos⁡(2x)4 dx=∫cos⁡(2x) dx4\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{4}

        1. пусть u=2xu = 2 x.

          Тогда пусть du=2dxdu = 2 dx и подставим du2\frac{du}{2}:

          ∫cos⁡(u)4 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            ∫cos⁡(u)2 du=∫cos⁡(u) du2\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

            1. Интеграл от косинуса есть синус:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Таким образом, результат будет: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

          Если сейчас заменить uu ещё в:

          sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

        Таким образом, результат будет: sin⁡(2x)8\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{8}

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

        ∫116 dx=x16\int \frac{1}{16}\, dx = \frac{x}{16}

      Результат есть: 35x128−sin⁡3(2x)24+sin⁡(2x)4+7sin⁡(4x)128+sin⁡(8x)1024\frac{35 x}{128} - \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{24} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{7 \sin{\left(4 x \right)}}{128} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{1024}

    Метод #2

    1. Перепишите подынтегральное выражение:

      (cos⁡(2x)2+12)4=cos⁡4(2x)16+cos⁡3(2x)4+3cos⁡2(2x)8+cos⁡(2x)4+116\left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{4} = \frac{\cos^{4}{\left(2 x \right)}}{16} + \frac{\cos^{3}{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{3 \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{8} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{1}{16}

    2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        ∫cos⁡4(2x)16 dx=∫cos⁡4(2x) dx16\int \frac{\cos^{4}{\left(2 x \right)}}{16}\, dx = \frac{\int \cos^{4}{\left(2 x \right)}\, dx}{16}

        1. Перепишите подынтегральное выражение:

          cos⁡4(2x)=(cos⁡(4x)2+12)2\cos^{4}{\left(2 x \right)} = \left(\frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2}

        2. Перепишите подынтегральное выражение:

          (cos⁡(4x)2+12)2=cos⁡2(4x)4+cos⁡(4x)2+14\left(\frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(4 x \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{4}

        3. Интегрируем почленно:

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            ∫cos⁡2(4x)4 dx=∫cos⁡2(4x) dx4\int \frac{\cos^{2}{\left(4 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(4 x \right)}\, dx}{4}

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

              cos⁡2(4x)=cos⁡(8x)2+12\cos^{2}{\left(4 x \right)} = \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

            2. Интегрируем почленно:

              1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                ∫cos⁡(8x)2 dx=∫cos⁡(8x) dx2\int \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(8 x \right)}\, dx}{2}

                1. пусть u=8xu = 8 x.

                  Тогда пусть du=8dxdu = 8 dx и подставим du8\frac{du}{8}:

                  ∫cos⁡(u)64 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{64}\, du

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                    ∫cos⁡(u)8 du=∫cos⁡(u) du8\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{8}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{8}

                    1. Интеграл от косинуса есть синус:

                      ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                    Таким образом, результат будет: sin⁡(u)8\frac{\sin{\left(u \right)}}{8}

                  Если сейчас заменить uu ещё в:

                  sin⁡(8x)8\frac{\sin{\left(8 x \right)}}{8}

                Таким образом, результат будет: sin⁡(8x)16\frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16}

              1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

              Результат есть: x2+sin⁡(8x)16\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16}

            Таким образом, результат будет: x8+sin⁡(8x)64\frac{x}{8} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{64}

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            ∫cos⁡(4x)2 dx=∫cos⁡(4x) dx2\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}

            1. пусть u=4xu = 4 x.

              Тогда пусть du=4dxdu = 4 dx и подставим du4\frac{du}{4}:

              ∫cos⁡(u)16 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{16}\, du

              1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                ∫cos⁡(u)4 du=∫cos⁡(u) du4\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

                1. Интеграл от косинуса есть синус:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Таким образом, результат будет: sin⁡(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

              Если сейчас заменить uu ещё в:

              sin⁡(4x)4\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

            Таким образом, результат будет: sin⁡(4x)8\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

          1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            ∫14 dx=x4\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}

          Результат есть: 3x8+sin⁡(4x)8+sin⁡(8x)64\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{64}

        Таким образом, результат будет: 3x128+sin⁡(4x)128+sin⁡(8x)1024\frac{3 x}{128} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{128} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{1024}

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        ∫cos⁡3(2x)4 dx=∫cos⁡3(2x) dx4\int \frac{\cos^{3}{\left(2 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{3}{\left(2 x \right)}\, dx}{4}

        1. Перепишите подынтегральное выражение:

          cos⁡3(2x)=(1−sin⁡2(2x))cos⁡(2x)\cos^{3}{\left(2 x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(2 x \right)}\right) \cos{\left(2 x \right)}

        2. пусть u=sin⁡(2x)u = \sin{\left(2 x \right)}.

          Тогда пусть du=2cos⁡(2x)dxdu = 2 \cos{\left(2 x \right)} dx и подставим dudu:

          ∫(12−u22) du\int \left(\frac{1}{2} - \frac{u^{2}}{2}\right)\, du

          1. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

              ∫12 du=u2\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              ∫(−u22) du=−∫u2 du2\int \left(- \frac{u^{2}}{2}\right)\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{2}

              1. Интеграл unu^{n} есть un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} когда n≠−1n \neq -1:

                ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

              Таким образом, результат будет: −u36- \frac{u^{3}}{6}

            Результат есть: −u36+u2- \frac{u^{3}}{6} + \frac{u}{2}

          Если сейчас заменить uu ещё в:

          −sin⁡3(2x)6+sin⁡(2x)2- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{6} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

        Таким образом, результат будет: −sin⁡3(2x)24+sin⁡(2x)8- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{24} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{8}

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        ∫3cos⁡2(2x)8 dx=3∫cos⁡2(2x) dx8\int \frac{3 \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{8}\, dx = \frac{3 \int \cos^{2}{\left(2 x \right)}\, dx}{8}

        1. Перепишите подынтегральное выражение:

          cos⁡2(2x)=cos⁡(4x)2+12\cos^{2}{\left(2 x \right)} = \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

        2. Интегрируем почленно:

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            ∫cos⁡(4x)2 dx=∫cos⁡(4x) dx2\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}

            1. пусть u=4xu = 4 x.

              Тогда пусть du=4dxdu = 4 dx и подставим du4\frac{du}{4}:

              ∫cos⁡(u)16 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{16}\, du

              1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                ∫cos⁡(u)4 du=∫cos⁡(u) du4\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

                1. Интеграл от косинуса есть синус:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Таким образом, результат будет: sin⁡(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

              Если сейчас заменить uu ещё в:

              sin⁡(4x)4\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

            Таким образом, результат будет: sin⁡(4x)8\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

          1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

          Результат есть: x2+sin⁡(4x)8\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

        Таким образом, результат будет: 3x16+3sin⁡(4x)64\frac{3 x}{16} + \frac{3 \sin{\left(4 x \right)}}{64}

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        ∫cos⁡(2x)4 dx=∫cos⁡(2x) dx4\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{4}

        1. пусть u=2xu = 2 x.

          Тогда пусть du=2dxdu = 2 dx и подставим du2\frac{du}{2}:

          ∫cos⁡(u)4 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            ∫cos⁡(u)2 du=∫cos⁡(u) du2\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

            1. Интеграл от косинуса есть синус:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Таким образом, результат будет: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

          Если сейчас заменить uu ещё в:

          sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

        Таким образом, результат будет: sin⁡(2x)8\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{8}

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

        ∫116 dx=x16\int \frac{1}{16}\, dx = \frac{x}{16}

      Результат есть: 35x128−sin⁡3(2x)24+sin⁡(2x)4+7sin⁡(4x)128+sin⁡(8x)1024\frac{35 x}{128} - \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{24} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{7 \sin{\left(4 x \right)}}{128} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{1024}

  3. Добавляем постоянную интегрирования:

    35x128−sin⁡3(2x)24+sin⁡(2x)4+7sin⁡(4x)128+sin⁡(8x)1024+constant\frac{35 x}{128} - \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{24} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{7 \sin{\left(4 x \right)}}{128} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{1024}+ \mathrm{constant}

Ответ:

35x128−sin⁡3(2x)24+sin⁡(2x)4+7sin⁡(4x)128+sin⁡(8x)1024+constant\frac{35 x}{128} - \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{24} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{7 \sin{\left(4 x \right)}}{128} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{1024}+ \mathrm{constant}

Ответ (Неопределённый) [src] 
  /                                                                      
 |                       3                                               
 |    8               sin (2*x)   sin(2*x)   sin(8*x)   7*sin(4*x)   35*x
 | cos (x)*1 dx = C - --------- + -------- + -------- + ---------- + ----
 |                        24         4         1024        128       128 
/
sin⁡(8 x)2+4 x8+sin⁡(4 x)2+x32+3 (sin⁡(4 x)2+2 x)16+sin⁡(2 x)−sin⁡3(2 x)34+sin⁡(2 x)4+x82{{{{{{{{\sin \left(8\,x\right)}\over{2}}+4\,x}\over{8}}+{{\sin \left(4\,x\right)}\over{2}}+x}\over{32}}+{{3\,\left({{\sin \left(4\, x\right)}\over{2}}+2\,x\right)}\over{16}}+{{\sin \left(2\,x\right)- {{\sin ^3\left(2\,x\right)}\over{3}}}\over{4}}+{{\sin \left(2\,x \right)}\over{4}}+{{x}\over{8}}}\over{2}}
Упростить
График
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.9002
Построить график f(x)
Ответ [src] 
         7                  5                                      3          
 35   cos (1)*sin(1)   7*cos (1)*sin(1)   35*cos(1)*sin(1)   35*cos (1)*sin(1)
--- + -------------- + ---------------- + ---------------- + -----------------
128         8                 48                128                 192
3 sin⁡8+168 sin⁡4−128 sin⁡32+768 sin⁡2+8403072{{3\,\sin 8+168\,\sin 4-128\,\sin ^32+768\,\sin 2+840}\over{3072}} 
=
= 
         7                  5                                      3          
 35   cos (1)*sin(1)   7*cos (1)*sin(1)   35*cos(1)*sin(1)   35*cos (1)*sin(1)
--- + -------------- + ---------------- + ---------------- + -----------------
128         8                 48                128                 192
sin⁡(1)cos⁡7(1)8+7sin⁡(1)cos⁡5(1)48+35sin⁡(1)cos⁡3(1)192+35sin⁡(1)cos⁡(1)128+35128\frac{\sin{\left(1 \right)} \cos^{7}{\left(1 \right)}}{8} + \frac{7 \sin{\left(1 \right)} \cos^{5}{\left(1 \right)}}{48} + \frac{35 \sin{\left(1 \right)} \cos^{3}{\left(1 \right)}}{192} + \frac{35 \sin{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)}}{128} + \frac{35}{128}
Упростить
Численный ответ [src] 
0.429014267712445
0.429014267712445
График
Интеграл cos(x)^(8)*dx d{x}

    Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

    © Господин Экзамен – Калькулятор