Интеграл cos(x)^(8)*dx d{x}

Решение

Вы ввели [src]

  1             
  /             
 |              
 |     8        
 |  cos (x)*1 dx
 |              
/               
0

$$\int\limits_{0}^{1} \cos^{8}{\left(x \right)} 1\, dx$$

Упростить

Подробное решение

Перепишите подынтегральное выражение:

$\cos^{8}{\left(x \right)} 1 = \left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{4}$
Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
Метод #1
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{4} = \frac{\cos^{4}{\left(2 x \right)}}{16} + \frac{\cos^{3}{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{3 \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{8} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{1}{16}$
2. Интегрируем почленно:
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \frac{\cos^{4}{\left(2 x \right)}}{16}\, dx = \frac{\int \cos^{4}{\left(2 x \right)}\, dx}{16}$
    1. Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\cos^{4}{\left(2 x \right)} = \left(\frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2}$
    2. Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\left(\frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(4 x \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{4}$
    3. Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos^{2}{\left(4 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(4 x \right)}\, dx}{4}$
      
      Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\cos^{2}{\left(4 x \right)} = \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
      
      Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(8 x \right)}\, dx}{2}$
      
      пусть $u = 8 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 8 dx$ и подставим $\frac{du}{8}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{64}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{8}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{8}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{8}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(8 x \right)}}{8}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16}$
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
      
      Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{x}{8} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{64}$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}$
      
      пусть $u = 4 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{16}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}$
      
      Результат есть: $\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{64}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{3 x}{128} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{128} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{1024}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \frac{\cos^{3}{\left(2 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{3}{\left(2 x \right)}\, dx}{4}$
    1. Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\cos^{3}{\left(2 x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(2 x \right)}\right) \cos{\left(2 x \right)}$
    2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
      
      Метод #1
      
      пусть $u = \sin{\left(2 x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 \cos{\left(2 x \right)} dx$ и подставим $du$ :
      
      $\int \left(\frac{1}{2} - \frac{u^{2}}{2}\right)\, du$
      
      Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{u^{2}}{2}\right)\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{2}$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{6}$
      
      Результат есть: $- \frac{u^{3}}{6} + \frac{u}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{6} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$
      
      Метод #2
      
      Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\left(1 - \sin^{2}{\left(2 x \right)}\right) \cos{\left(2 x \right)} = - \sin^{2}{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}$
      
      Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \sin^{2}{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{2}{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\, dx$
      
      пусть $u = \sin{\left(2 x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 \cos{\left(2 x \right)} dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{u^{2}}{4}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{u^{2}}{2}\, du = \frac{\int u^{2}\, du}{2}$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{u^{3}}{6}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{6}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{6}$
      
      пусть $u = 2 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$
      
      Результат есть: $- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{6} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$
      
      Метод #3
      
      Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\left(1 - \sin^{2}{\left(2 x \right)}\right) \cos{\left(2 x \right)} = - \sin^{2}{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}$
      
      Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \sin^{2}{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{2}{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\, dx$
      
      пусть $u = \sin{\left(2 x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 \cos{\left(2 x \right)} dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{u^{2}}{4}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{u^{2}}{2}\, du = \frac{\int u^{2}\, du}{2}$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{u^{3}}{6}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{6}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{6}$
      
      пусть $u = 2 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$
      
      Результат есть: $- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{6} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$
    Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{24} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{8}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \frac{3 \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{8}\, dx = \frac{3 \int \cos^{2}{\left(2 x \right)}\, dx}{8}$
    1. Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\cos^{2}{\left(2 x \right)} = \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
    2. Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}$
      
      пусть $u = 4 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{16}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
      
      Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{3 x}{16} + \frac{3 \sin{\left(4 x \right)}}{64}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{4}$
    1. пусть $u = 2 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{8}$
  1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
    
    $\int \frac{1}{16}\, dx = \frac{x}{16}$
  Результат есть: $\frac{35 x}{128} - \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{24} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{7 \sin{\left(4 x \right)}}{128} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{1024}$
Метод #2
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{4} = \frac{\cos^{4}{\left(2 x \right)}}{16} + \frac{\cos^{3}{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{3 \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{8} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{1}{16}$
2. Интегрируем почленно:
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \frac{\cos^{4}{\left(2 x \right)}}{16}\, dx = \frac{\int \cos^{4}{\left(2 x \right)}\, dx}{16}$
    1. Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\cos^{4}{\left(2 x \right)} = \left(\frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2}$
    2. Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\left(\frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(4 x \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{4}$
    3. Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos^{2}{\left(4 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(4 x \right)}\, dx}{4}$
      
      Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\cos^{2}{\left(4 x \right)} = \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
      
      Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(8 x \right)}\, dx}{2}$
      
      пусть $u = 8 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 8 dx$ и подставим $\frac{du}{8}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{64}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{8}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{8}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{8}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(8 x \right)}}{8}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16}$
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
      
      Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{x}{8} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{64}$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}$
      
      пусть $u = 4 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{16}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}$
      
      Результат есть: $\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{64}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{3 x}{128} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{128} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{1024}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \frac{\cos^{3}{\left(2 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{3}{\left(2 x \right)}\, dx}{4}$
    1. Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\cos^{3}{\left(2 x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(2 x \right)}\right) \cos{\left(2 x \right)}$
    2. пусть $u = \sin{\left(2 x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 \cos{\left(2 x \right)} dx$ и подставим $du$ :
      
      $\int \left(\frac{1}{2} - \frac{u^{2}}{2}\right)\, du$
      
      Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{u^{2}}{2}\right)\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{2}$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{6}$
      
      Результат есть: $- \frac{u^{3}}{6} + \frac{u}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{6} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$
    Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{24} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{8}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \frac{3 \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{8}\, dx = \frac{3 \int \cos^{2}{\left(2 x \right)}\, dx}{8}$
    1. Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\cos^{2}{\left(2 x \right)} = \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
    2. Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}$
      
      пусть $u = 4 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{16}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
      
      Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{3 x}{16} + \frac{3 \sin{\left(4 x \right)}}{64}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{4}$
    1. пусть $u = 2 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{8}$
  1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
    
    $\int \frac{1}{16}\, dx = \frac{x}{16}$
  Результат есть: $\frac{35 x}{128} - \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{24} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{7 \sin{\left(4 x \right)}}{128} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{1024}$
Добавляем постоянную интегрирования:

$\frac{35 x}{128} - \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{24} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{7 \sin{\left(4 x \right)}}{128} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{1024}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{35 x}{128} - \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{24} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{7 \sin{\left(4 x \right)}}{128} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{1024}+ \mathrm{constant}$

Ответ (Неопределённый) [src]

  /                                                                      
 |                       3                                               
 |    8               sin (2*x)   sin(2*x)   sin(8*x)   7*sin(4*x)   35*x
 | cos (x)*1 dx = C - --------- + -------- + -------- + ---------- + ----
 |                        24         4         1024        128       128 
/

$${{{{{{{{\sin \left(8\,x\right)}\over{2}}+4\,x}\over{8}}+{{\sin \left(4\,x\right)}\over{2}}+x}\over{32}}+{{3\,\left({{\sin \left(4\, x\right)}\over{2}}+2\,x\right)}\over{16}}+{{\sin \left(2\,x\right)- {{\sin ^3\left(2\,x\right)}\over{3}}}\over{4}}+{{\sin \left(2\,x \right)}\over{4}}+{{x}\over{8}}}\over{2}}$$

Упростить

График

Построить график f(x)

Ответ [src]

         7                  5                                      3          
 35   cos (1)*sin(1)   7*cos (1)*sin(1)   35*cos(1)*sin(1)   35*cos (1)*sin(1)
--- + -------------- + ---------------- + ---------------- + -----------------
128         8                 48                128                 192

$${{3\,\sin 8+168\,\sin 4-128\,\sin ^32+768\,\sin 2+840}\over{3072}}$$

         7                  5                                      3          
 35   cos (1)*sin(1)   7*cos (1)*sin(1)   35*cos(1)*sin(1)   35*cos (1)*sin(1)
--- + -------------- + ---------------- + ---------------- + -----------------
128         8                 48                128                 192

$$\frac{\sin{\left(1 \right)} \cos^{7}{\left(1 \right)}}{8} + \frac{7 \sin{\left(1 \right)} \cos^{5}{\left(1 \right)}}{48} + \frac{35 \sin{\left(1 \right)} \cos^{3}{\left(1 \right)}}{192} + \frac{35 \sin{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)}}{128} + \frac{35}{128}$$

Упростить

Численный ответ [src]

0.429014267712445

0.429014267712445

График

$Интеграл cos(x)^(8)*dx d{x}$

Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Интеграл cos(x)^(8)*dx d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #1

Метод #2

Метод #3

Метод #2