Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

Как пользоваться?
Интеграл d{x}:
Интеграл sin(x)^(2)*dx
Интеграл x^2*sqrt(16-x^2)
Интеграл 1/(sqrt(x^2-1))
Интеграл sin(x)/(x)
Идентичные выражения
(пять *x^ два - четыре *x+ сорок)/((x^ два + девять)*(x- два))
(5 умножить на x в квадрате минус 4 умножить на x плюс 40) делить на ((x в квадрате плюс 9) умножить на (x минус 2))
(пять умножить на x в степени два минус четыре умножить на x плюс сорок) делить на ((x в степени два плюс девять) умножить на (x минус два))
(5*x2-4*x+40)/((x2+9)*(x-2))
5*x2-4*x+40/x2+9*x-2
(5*x²-4*x+40)/((x²+9)*(x-2))
(5*x в степени 2-4*x+40)/((x в степени 2+9)*(x-2))
(5x^2-4x+40)/((x^2+9)(x-2))
(5x2-4x+40)/((x2+9)(x-2))
5x2-4x+40/x2+9x-2
5x^2-4x+40/x^2+9x-2
(5*x^2-4*x+40) разделить на ((x^2+9)*(x-2))
(5*x^2-4*x+40)/((x^2+9)*(x-2))dx
Похожие выражения
(5*x^2-4*x+40)/((x^2-9)*(x-2))
(5*x^2-4*x-40)/((x^2+9)*(x-2))
(5*x^2-4*x+40)/((x^2+9)*(x+2))
(5*x^2+4*x+40)/((x^2+9)*(x-2))

Решение интегралов/ (5*x^2-4*x+40)/((x^2+9)*(x-2))

Интеграл (5x^2-4x+40)/((x^2+9)*(x-2)) d{x}

Решение

Вы ввели [src]

  1                    
  /                    
 |                     
 |     2               
 |  5*x  - 4*x + 40    
 |  ---------------- dx
 |  / 2    \           
 |  \x  + 9/*(x - 2)   
 |                     
/                      
0

$$\int\limits_{0}^{1} \frac{5 x^{2} - 4 x + 40}{\left(x - 2\right) \left(x^{2} + 9\right)}\, dx$$

Упростить

Подробное решение

Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
Метод #1
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\frac{5 x^{2} - 4 x + 40}{\left(x - 2\right) \left(x^{2} + 9\right)} = \frac{x - 2}{x^{2} + 9} + \frac{4}{x - 2}$
2. Интегрируем почленно:
  1. Перепишите подынтегральное выражение:
    
    $\frac{x - 2}{x^{2} + 9} = \frac{x}{x^{2} + 9} - \frac{2}{x^{2} + 9}$
  2. Интегрируем почленно:
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{x}{x^{2} + 9}\, dx = \frac{\int \frac{2 x}{x^{2} + 9}\, dx}{2}$
      
      пусть $u = x^{2} + 9$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 x dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{1}{2 u}\, du$
      
      Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\log{\left(x^{2} + 9 \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(x^{2} + 9 \right)}}{2}$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{2}{x^{2} + 9}\right)\, dx = - 2 \int \frac{1}{x^{2} + 9}\, dx$
      
      Интеграл $\frac{1}{x^{2} + 1}$ есть $\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3}$ .
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3}$
    Результат есть: $\frac{\log{\left(x^{2} + 9 \right)}}{2} - \frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \frac{4}{x - 2}\, dx = 4 \int \frac{1}{x - 2}\, dx$
    1. пусть $u = x - 2$ .
      
      Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$ :
      
      $\int \frac{1}{u}\, du$
      
      Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\log{\left(x - 2 \right)}$
    Таким образом, результат будет: $4 \log{\left(x - 2 \right)}$
  Результат есть: $4 \log{\left(x - 2 \right)} + \frac{\log{\left(x^{2} + 9 \right)}}{2} - \frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3}$
Метод #2
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\frac{5 x^{2} - 4 x + 40}{\left(x - 2\right) \left(x^{2} + 9\right)} = \frac{5 x^{2} - 4 x + 40}{x^{3} - 2 x^{2} + 9 x - 18}$
2. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\frac{5 x^{2} - 4 x + 40}{x^{3} - 2 x^{2} + 9 x - 18} = \frac{x - 2}{x^{2} + 9} + \frac{4}{x - 2}$
3. Интегрируем почленно:
  1. Перепишите подынтегральное выражение:
    
    $\frac{x - 2}{x^{2} + 9} = \frac{x}{x^{2} + 9} - \frac{2}{x^{2} + 9}$
  2. Интегрируем почленно:
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{x}{x^{2} + 9}\, dx = \frac{\int \frac{2 x}{x^{2} + 9}\, dx}{2}$
      
      пусть $u = x^{2} + 9$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 x dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{1}{2 u}\, du$
      
      Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\log{\left(x^{2} + 9 \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(x^{2} + 9 \right)}}{2}$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{2}{x^{2} + 9}\right)\, dx = - 2 \int \frac{1}{x^{2} + 9}\, dx$
      
      Интеграл $\frac{1}{x^{2} + 1}$ есть $\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3}$ .
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3}$
    Результат есть: $\frac{\log{\left(x^{2} + 9 \right)}}{2} - \frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \frac{4}{x - 2}\, dx = 4 \int \frac{1}{x - 2}\, dx$
    1. пусть $u = x - 2$ .
      
      Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$ :
      
      $\int \frac{1}{u}\, du$
      
      Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\log{\left(x - 2 \right)}$
    Таким образом, результат будет: $4 \log{\left(x - 2 \right)}$
  Результат есть: $4 \log{\left(x - 2 \right)} + \frac{\log{\left(x^{2} + 9 \right)}}{2} - \frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3}$
Метод #3
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\frac{5 x^{2} - 4 x + 40}{\left(x - 2\right) \left(x^{2} + 9\right)} = \frac{5 x^{2}}{x^{3} - 2 x^{2} + 9 x - 18} - \frac{4 x}{x^{3} - 2 x^{2} + 9 x - 18} + \frac{40}{x^{3} - 2 x^{2} + 9 x - 18}$
2. Интегрируем почленно:
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \frac{5 x^{2}}{x^{3} - 2 x^{2} + 9 x - 18}\, dx = 5 \int \frac{x^{2}}{x^{3} - 2 x^{2} + 9 x - 18}\, dx$
    1. Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\frac{x^{2}}{x^{3} - 2 x^{2} + 9 x - 18} = \frac{9 \left(x + 2\right)}{13 \left(x^{2} + 9\right)} + \frac{4}{13 \left(x - 2\right)}$
    2. Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{9 \left(x + 2\right)}{13 \left(x^{2} + 9\right)}\, dx = \frac{9 \int \frac{x + 2}{x^{2} + 9}\, dx}{13}$
      
      Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\frac{x + 2}{x^{2} + 9} = \frac{x}{x^{2} + 9} + \frac{2}{x^{2} + 9}$
      
      Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{x}{x^{2} + 9}\, dx = \frac{\int \frac{2 x}{x^{2} + 9}\, dx}{2}$
      
      пусть $u = x^{2} + 9$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 x dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{1}{2 u}\, du$
      
      Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\log{\left(x^{2} + 9 \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(x^{2} + 9 \right)}}{2}$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{2}{x^{2} + 9}\, dx = 2 \int \frac{1}{x^{2} + 9}\, dx$
      
      Интеграл $\frac{1}{x^{2} + 1}$ есть $\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3}$ .
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3}$
      
      Результат есть: $\frac{\log{\left(x^{2} + 9 \right)}}{2} + \frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{9 \log{\left(x^{2} + 9 \right)}}{26} + \frac{6 \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{13}$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{4}{13 \left(x - 2\right)}\, dx = \frac{4 \int \frac{1}{x - 2}\, dx}{13}$
      
      пусть $u = x - 2$ .
      
      Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$ :
      
      $\int \frac{1}{u}\, du$
      
      Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\log{\left(x - 2 \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{4 \log{\left(x - 2 \right)}}{13}$
      
      Результат есть: $\frac{4 \log{\left(x - 2 \right)}}{13} + \frac{9 \log{\left(x^{2} + 9 \right)}}{26} + \frac{6 \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{13}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{20 \log{\left(x - 2 \right)}}{13} + \frac{45 \log{\left(x^{2} + 9 \right)}}{26} + \frac{30 \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{13}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- \frac{4 x}{x^{3} - 2 x^{2} + 9 x - 18}\right)\, dx = - 4 \int \frac{x}{x^{3} - 2 x^{2} + 9 x - 18}\, dx$
    1. Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\frac{x}{x^{3} - 2 x^{2} + 9 x - 18} = - \frac{2 x - 9}{13 \left(x^{2} + 9\right)} + \frac{2}{13 \left(x - 2\right)}$
    2. Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{2 x - 9}{13 \left(x^{2} + 9\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{2 x - 9}{x^{2} + 9}\, dx}{13}$
      
      Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\frac{2 x - 9}{x^{2} + 9} = \frac{2 x}{x^{2} + 9} - \frac{9}{x^{2} + 9}$
      
      Интегрируем почленно:
      
      пусть $u = x^{2} + 9$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 x dx$ и подставим $du$ :
      
      $\int \frac{1}{u}\, du$
      
      Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\log{\left(x^{2} + 9 \right)}$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{9}{x^{2} + 9}\right)\, dx = - 9 \int \frac{1}{x^{2} + 9}\, dx$
      
      Интеграл $\frac{1}{x^{2} + 1}$ есть $\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3}$ .
      
      Таким образом, результат будет: $- 3 \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{3} \right)}$
      
      Результат есть: $\log{\left(x^{2} + 9 \right)} - 3 \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{3} \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{\log{\left(x^{2} + 9 \right)}}{13} + \frac{3 \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{13}$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{2}{13 \left(x - 2\right)}\, dx = \frac{2 \int \frac{1}{x - 2}\, dx}{13}$
      
      пусть $u = x - 2$ .
      
      Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$ :
      
      $\int \frac{1}{u}\, du$
      
      Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\log{\left(x - 2 \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{2 \log{\left(x - 2 \right)}}{13}$
      
      Результат есть: $\frac{2 \log{\left(x - 2 \right)}}{13} - \frac{\log{\left(x^{2} + 9 \right)}}{13} + \frac{3 \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{13}$
    Таким образом, результат будет: $- \frac{8 \log{\left(x - 2 \right)}}{13} + \frac{4 \log{\left(x^{2} + 9 \right)}}{13} - \frac{12 \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{13}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \frac{40}{x^{3} - 2 x^{2} + 9 x - 18}\, dx = 40 \int \frac{1}{x^{3} - 2 x^{2} + 9 x - 18}\, dx$
    1. Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\frac{1}{x^{3} - 2 x^{2} + 9 x - 18} = - \frac{x + 2}{13 \left(x^{2} + 9\right)} + \frac{1}{13 \left(x - 2\right)}$
    2. Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{x + 2}{13 \left(x^{2} + 9\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{x + 2}{x^{2} + 9}\, dx}{13}$
      
      Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\frac{x + 2}{x^{2} + 9} = \frac{x}{x^{2} + 9} + \frac{2}{x^{2} + 9}$
      
      Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{x}{x^{2} + 9}\, dx = \frac{\int \frac{2 x}{x^{2} + 9}\, dx}{2}$
      
      пусть $u = x^{2} + 9$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 x dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{1}{2 u}\, du$
      
      Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\log{\left(x^{2} + 9 \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(x^{2} + 9 \right)}}{2}$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{2}{x^{2} + 9}\, dx = 2 \int \frac{1}{x^{2} + 9}\, dx$
      
      Интеграл $\frac{1}{x^{2} + 1}$ есть $\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3}$ .
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3}$
      
      Результат есть: $\frac{\log{\left(x^{2} + 9 \right)}}{2} + \frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{\log{\left(x^{2} + 9 \right)}}{26} - \frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{39}$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{1}{13 \left(x - 2\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x - 2}\, dx}{13}$
      
      пусть $u = x - 2$ .
      
      Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$ :
      
      $\int \frac{1}{u}\, du$
      
      Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\log{\left(x - 2 \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(x - 2 \right)}}{13}$
      
      Результат есть: $\frac{\log{\left(x - 2 \right)}}{13} - \frac{\log{\left(x^{2} + 9 \right)}}{26} - \frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{39}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{40 \log{\left(x - 2 \right)}}{13} - \frac{20 \log{\left(x^{2} + 9 \right)}}{13} - \frac{80 \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{39}$
  Результат есть: $4 \log{\left(x - 2 \right)} + \frac{\log{\left(x^{2} + 9 \right)}}{2} - \frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3}$
Добавляем постоянную интегрирования:

$4 \log{\left(x - 2 \right)} + \frac{\log{\left(x^{2} + 9 \right)}}{2} - \frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$4 \log{\left(x - 2 \right)} + \frac{\log{\left(x^{2} + 9 \right)}}{2} - \frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$

Ответ (Неопределённый) [src]

  /                                                                 
 |                                                               /x\
 |    2                         /     2\                   2*atan|-|
 | 5*x  - 4*x + 40           log\9 + x /                         \3/
 | ---------------- dx = C + ----------- + 4*log(-2 + x) - ---------
 | / 2    \                       2                            3    
 | \x  + 9/*(x - 2)                                                 
 |                                                                  
/

$${{\log \left(x^2+9\right)}\over{2}}-{{2\,\arctan \left({{x}\over{3 }}\right)}\over{3}}+4\,\log \left(x-2\right)$$

Упростить

График

Построить график f(x)

Ответ [src]

log(10)              2*atan(1/3)   log(9)
------- - 4*log(2) - ----------- - ------
   2                      3          2

$${{3\,\log 10-4\,\arctan \left({{1}\over{3}}\right)}\over{6}}-{{ \log 9+8\,\log 2}\over{2}}$$

log(10)              2*atan(1/3)   log(9)
------- - 4*log(2) - ----------- - ------
   2                      3          2

$$- 4 \log{\left(2 \right)} - \frac{\log{\left(9 \right)}}{2} - \frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{3} \right)}}{3} + \frac{\log{\left(10 \right)}}{2}$$

Упростить

Численный ответ [src]

-2.93440883400863

-2.93440883400863

График

$Интеграл (5*x^2-4*x+40)/((x^2+9)*(x-2)) d{x}$

Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Интеграл (5x^2-4x+40)/((x^2+9)*(x-2)) d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #2

Метод #3