Интеграл 1/e^(4*x) d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = \frac{1}{e^{4 x}}$.

      Тогда пусть $du = - 4 e^{- 4 x} dx$ и подставим $- \frac{du}{4}$:

      $\int \frac{1}{16}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \frac{1}{4}\right)\, du = - \frac{\int 1\, du}{4}$

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 1\, du = u$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{u}{4}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{e^{- 4 x}}{4}$

   Метод #2

   1. пусть $u = e^{4 x}$.

      Тогда пусть $du = 4 e^{4 x} dx$ и подставим $\frac{du}{4}$:

      $\int \frac{1}{16 u^{2}}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{4 u^{2}}\, du = \frac{\int \frac{1}{u^{2}}\, du}{4}$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{4 u}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{e^{- 4 x}}{4}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{e^{- 4 x}}{4}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$- \frac{e^{- 4 x}}{4}+ \mathrm{constant}$