Интеграл -exp(-x) d{x}

1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int \left(- e^{- x}\right)\, dx = - \int e^{- x}\, dx$

   1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть $u = - x$.

         Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $- du$:

         $\int e^{u}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- e^{u}\right)\, du = - \int e^{u}\, du$

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Таким образом, результат будет: $- e^{u}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- e^{- x}$

      Метод #2

      1. пусть $u = e^{- x}$.

         Тогда пусть $du = - e^{- x} dx$ и подставим $- du$:

         $\int 1\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(-1\right)\, du = - \int 1\, du$

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int 1\, du = u$

            Таким образом, результат будет: $- u$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- e^{- x}$

   Таким образом, результат будет: $e^{- x}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $e^{- x}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$e^{- x}+ \mathrm{constant}$