Интеграл log(x)^3/x d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = \log{\left(x \right)}$.

      Тогда пусть $du = \frac{dx}{x}$ и подставим $du$:

      $\int u^{3}\, du$

      1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

         $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{\log{\left(x \right)}^{4}}{4}$

   Метод #2

   1. пусть $u = \frac{1}{x}$.

      Тогда пусть $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ и подставим $- du$:

      $\int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3}}{u}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3}}{u}\right)\, du = - \int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3}}{u}\, du$

         1. пусть $u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}$.

            Тогда пусть $du = - \frac{du}{u}$ и подставим $- du$:

            $\int u^{3}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \left(- u^{3}\right)\, du = - \int u^{3}\, du$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

                  $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{4}}{4}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{4}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{4}}{4}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{\log{\left(x \right)}^{4}}{4}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{\log{\left(x \right)}^{4}}{4}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{\log{\left(x \right)}^{4}}{4}+ \mathrm{constant}$