Интеграл log((x^2)-1) d{x}

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left(x \right)} = \log{\left(x^{2} - 1 \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$.

   Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{2 x}{x^{2} - 1}$.

   Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int 1\, dx = x$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int \frac{2 x^{2}}{x^{2} - 1}\, dx = 2 \int \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}\, dx$

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x^{2}}{x^{2} - 1} = 1 - \frac{1}{2 \left(x + 1\right)} + \frac{1}{2 \left(x - 1\right)}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \frac{1}{2 \left(x + 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{x + 1}\, dx}{2}$

         1. пусть $u = x + 1$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left(x + 1 \right)}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{2}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{2 \left(x - 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x - 1}\, dx}{2}$

         1. пусть $u = x - 1$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left(x - 1 \right)}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{2}$

      Результат есть: $x + \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{2} - \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{2}$

   Таким образом, результат будет: $2 x + \log{\left(x - 1 \right)} - \log{\left(x + 1 \right)}$

3. Теперь упростить:

   $x \log{\left(x^{2} - 1 \right)} - 2 x - \log{\left(x - 1 \right)} + \log{\left(x + 1 \right)}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $x \log{\left(x^{2} - 1 \right)} - 2 x - \log{\left(x - 1 \right)} + \log{\left(x + 1 \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$x \log{\left(x^{2} - 1 \right)} - 2 x - \log{\left(x - 1 \right)} + \log{\left(x + 1 \right)}+ \mathrm{constant}$