Интеграл log(x^2+1) d{x}

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left(x \right)} = \log{\left(x^{2} + 1 \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$.

   Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{2 x}{x^{2} + 1}$.

   Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int 1\, dx = x$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int \frac{2 x^{2}}{x^{2} + 1}\, dx = 2 \int \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}\, dx$

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} = 1 - \frac{1}{x^{2} + 1}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \frac{1}{x^{2} + 1}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x^{2} + 1}\, dx$

         1. Интеграл $\frac{1}{x^{2} + 1}$ есть $\operatorname{atan}{\left(x \right)}$.

         Таким образом, результат будет: $- \operatorname{atan}{\left(x \right)}$

      Результат есть: $x - \operatorname{atan}{\left(x \right)}$

   Таким образом, результат будет: $2 x - 2 \operatorname{atan}{\left(x \right)}$

3. Теперь упростить:

   $x \log{\left(x^{2} + 1 \right)} - 2 x + 2 \operatorname{atan}{\left(x \right)}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $x \log{\left(x^{2} + 1 \right)} - 2 x + 2 \operatorname{atan}{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$x \log{\left(x^{2} + 1 \right)} - 2 x + 2 \operatorname{atan}{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$