Интеграл (log(x)+1)/x d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = \log{\left(x \right)} + 1$.

      Тогда пусть $du = \frac{dx}{x}$ и подставим $du$:

      $\int u\, du$

      1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

         $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{\left(\log{\left(x \right)} + 1\right)^{2}}{2}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{\log{\left(x \right)} + 1}{x} = \frac{\log{\left(x \right)}}{x} + \frac{1}{x}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. пусть $u = \frac{1}{x}$.

         Тогда пусть $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ и подставим $- du$:

         $\int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}\right)\, du = - \int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}\, du$

            1. пусть $u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}$.

               Тогда пусть $du = - \frac{du}{u}$ и подставим $- du$:

               $\int u\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \left(- u\right)\, du = - \int u\, du$

                  1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

                     $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                  Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{2}}{2}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{2}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{2}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{2}$

      1. Интеграл $\frac{1}{x}$ есть $\log{\left(x \right)}$.

      Результат есть: $\frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{2} + \log{\left(x \right)}$

2. Теперь упростить:

   $\frac{\left(\log{\left(x \right)} + 1\right)^{2}}{2}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{\left(\log{\left(x \right)} + 1\right)^{2}}{2}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{\left(\log{\left(x \right)} + 1\right)^{2}}{2}+ \mathrm{constant}$