Интеграл log(x) d{x}

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$.

   Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$.

   Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int 1\, dx = x$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

   $\int 1\, dx = x$

3. Теперь упростить:

   $x \left(\log{\left(x \right)} - 1\right)$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $x \left(\log{\left(x \right)} - 1\right)+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$x \left(\log{\left(x \right)} - 1\right)+ \mathrm{constant}$