Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

$Найти интеграл от y = f({x}) = cos(x)^(5)*sin(x)^(2)*dx (косинус от (x) в степени (5) умножить на синус от (x) в степени (2) умножить на dx) - с подробным решением [Есть ОТВЕТ!]$

Как пользоваться?
Интеграл d{x}:
Интеграл sqrt(x^2-9)/x^4
Интеграл 1/(sqrt(2*pi))*e^((-x^2)/2)
Интеграл (5*x^4-7*x^6+3)
Интеграл x/log(x)
Идентичные выражения
cos(x)^(пять)*sin(x)^(два)*dx
косинус от (x) в степени (5) умножить на синус от (x) в степени (2) умножить на dx
косинус от (x) в степени (пять) умножить на синус от (x) в степени (два) умножить на dx
cos(x)(5)*sin(x)(2)*dx
cosx5*sinx2*dx
cos(x)^(5)sin(x)^(2)dx
cos(x)(5)sin(x)(2)dx
cosx5sinx2dx
cosx^5sinx^2dx
Похожие выражения
cosx^(5)*sinx^(2)*dx

Решение интегралов/ cos(x)^(5)*sin(x)^(2)*dx

Интеграл cos(x)^(5)sin(x)^(2)dx d{x}

Решение

Вы ввели [src]

  1                     
  /                     
 |                      
 |     5       2        
 |  cos (x)*sin (x)*1 dx
 |                      
/                       
0

$$\int\limits_{0}^{1} \cos^{5}{\left(x \right)} \sin^{2}{\left(x \right)} 1\, dx$$

Упростить

Подробное решение

Перепишите подынтегральное выражение:

$\cos^{5}{\left(x \right)} \sin^{2}{\left(x \right)} 1 = \left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$
Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
Метод #1
1. пусть $u = \sin{\left(x \right)}$ .
  
  Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$ :
  
  $\int \left(u^{6} - 2 u^{4} + u^{2}\right)\, du$
  1. Интегрируем почленно:
    1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- 2 u^{4}\right)\, du = - 2 \int u^{4}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{2 u^{5}}{5}$
    1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
    Результат есть: $\frac{u^{7}}{7} - \frac{2 u^{5}}{5} + \frac{u^{3}}{3}$
  Если сейчас заменить $u$ ещё в:
  
  $\frac{\sin^{7}{\left(x \right)}}{7} - \frac{2 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5} + \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$
Метод #2
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} = \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 2 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$
2. Интегрируем почленно:
  1. пусть $u = \sin{\left(x \right)}$ .
    
    Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$ :
    
    $\int u^{6}\, du$
    1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $\frac{\sin^{7}{\left(x \right)}}{7}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- 2 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$
    1. пусть $u = \sin{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$ :
      
      $\int u^{4}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}$
    Таким образом, результат будет: $- \frac{2 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5}$
  1. пусть $u = \sin{\left(x \right)}$ .
    
    Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$ :
    
    $\int u^{2}\, du$
    1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$
  Результат есть: $\frac{\sin^{7}{\left(x \right)}}{7} - \frac{2 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5} + \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$
Метод #3
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} = \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 2 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$
2. Интегрируем почленно:
  1. пусть $u = \sin{\left(x \right)}$ .
    
    Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$ :
    
    $\int u^{6}\, du$
    1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $\frac{\sin^{7}{\left(x \right)}}{7}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- 2 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$
    1. пусть $u = \sin{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$ :
      
      $\int u^{4}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}$
    Таким образом, результат будет: $- \frac{2 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5}$
  1. пусть $u = \sin{\left(x \right)}$ .
    
    Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$ :
    
    $\int u^{2}\, du$
    1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$
  Результат есть: $\frac{\sin^{7}{\left(x \right)}}{7} - \frac{2 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5} + \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$
Теперь упростить:

$\frac{\left(15 \sin^{4}{\left(x \right)} - 42 \sin^{2}{\left(x \right)} + 35\right) \sin^{3}{\left(x \right)}}{105}$
Добавляем постоянную интегрирования:

$\frac{\left(15 \sin^{4}{\left(x \right)} - 42 \sin^{2}{\left(x \right)} + 35\right) \sin^{3}{\left(x \right)}}{105}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{\left(15 \sin^{4}{\left(x \right)} - 42 \sin^{2}{\left(x \right)} + 35\right) \sin^{3}{\left(x \right)}}{105}+ \mathrm{constant}$

Ответ (Неопределённый) [src]

  /                                                        
 |                                 5         3         7   
 |    5       2               2*sin (x)   sin (x)   sin (x)
 | cos (x)*sin (x)*1 dx = C - --------- + ------- + -------
 |                                5          3         7   
/

$${{15\,\sin ^7x-42\,\sin ^5x+35\,\sin ^3x}\over{105}}$$

Упростить

График

Построить график f(x)

Ответ [src]

       5         3         7   
  2*sin (1)   sin (1)   sin (1)
- --------- + ------- + -------
      5          3         7

$${{15\,\sin ^71-42\,\sin ^51+35\,\sin ^31}\over{105}}$$

       5         3         7   
  2*sin (1)   sin (1)   sin (1)
- --------- + ------- + -------
      5          3         7

$$- \frac{2 \sin^{5}{\left(1 \right)}}{5} + \frac{\sin^{7}{\left(1 \right)}}{7} + \frac{\sin^{3}{\left(1 \right)}}{3}$$

Упростить

Численный ответ [src]

0.0725283477775366

0.0725283477775366

График

$Интеграл cos(x)^(5)*sin(x)^(2)*dx d{x}$

Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Интеграл cos(x)^(5)sin(x)^(2)dx d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #2

Метод #3