Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

Как пользоваться?
Интеграл d{x}:
Интеграл cos(x)/(1+sin(x))
Интеграл acos(x)^(2)
Интеграл (2*x^2+41*x-91)/((x-1)*(x+3)*(x-4))
Интеграл 1/sqrt(3-2*x-x^2)
Производная:
(cos(x)^2)*x
Идентичные выражения
(cos(x)^ два)*x
( косинус от (x) в квадрате ) умножить на x
( косинус от (x) в степени два) умножить на x
(cos(x)2)*x
cosx2*x
(cos(x)²)*x
(cos(x) в степени 2)*x
(cos(x)^2)x
(cos(x)2)x
cosx2x
cosx^2x
(cos(x)^2)*xdx
Похожие выражения
(cosx^2)*x

Решение интегралов/ (cos(x)^2)*x

Интеграл (cos(x)^2)*x d{x}

Решение

Вы ввели [src]

  1             
  /             
 |              
 |     2        
 |  cos (x)*x dx
 |              
/               
0

$$\int\limits_{0}^{1} x \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$$

Упростить

Подробное решение

Используем интегрирование по частям:

$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

пусть $u{\left(x \right)} = x$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos^{2}{\left(x \right)}$ .

Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$ .

Чтобы найти $v{\left(x \right)}$ :
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\cos^{2}{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
2. Интегрируем почленно:
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$
    1. пусть $u = 2 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$
      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
        
        $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
        
        Интеграл от косинуса есть синус:
        
        $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
        
        Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$
  1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
    
    $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
  Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$
Теперь решаем под-интеграл.
Интегрируем почленно:
1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
  
  $\int \frac{x}{2}\, dx = \frac{\int x\, dx}{2}$
  1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
    
    $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$
  Таким образом, результат будет: $\frac{x^{2}}{4}$
1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
  
  $\int \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \sin{\left(2 x \right)}\, dx}{4}$
  1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
    Метод #1
    1. пусть $u = 2 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{4}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      Интеграл от синуса есть минус косинус:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}$
    Метод #2
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$
      
      Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
      
      Метод #1
      
      пусть $u = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$ :
      
      $\int u\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- u\right)\, du = - \int u\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{2}}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$
      
      Метод #2
      
      пусть $u = \sin{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$ :
      
      $\int u\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{2}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \cos^{2}{\left(x \right)}$
  Таким образом, результат будет: $- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{8}$
Результат есть: $\frac{x^{2}}{4} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{8}$
Теперь упростить:

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{x \sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{8}$
Добавляем постоянную интегрирования:

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{x \sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{8}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{x \sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{8}+ \mathrm{constant}$

Ответ (Неопределённый) [src]

  /                                                   
 |                     2                              
 |    2               x    cos(2*x)     /x   sin(2*x)\
 | cos (x)*x dx = C - -- + -------- + x*|- + --------|
 |                    4       8         \2      4    /
/

$${{2\,x\,\sin \left(2\,x\right)+\cos \left(2\,x\right)+2\,x^2}\over{ 8}}$$

Упростить

График

Построить график f(x)

Ответ [src]

   2                   
cos (1)   cos(1)*sin(1)
------- + -------------
   4            2

$${{2\,\sin 2+\cos 2+2}\over{8}}-{{1}\over{8}}$$

   2                   
cos (1)   cos(1)*sin(1)
------- + -------------
   4            2

$$\frac{\cos^{2}{\left(1 \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)}}{2}$$

Упростить

Численный ответ [src]

0.300306002138028

0.300306002138028

График

$Интеграл (cos(x)^2)*x d{x}$

Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Интеграл (cos(x)^2)*x d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #2

Метод #1

Метод #2