Производная (cos(x)^2)*x

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = \cos^{2}{\left(x \right)}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Заменим $u = \cos{\left(x \right)}$.

   2. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)}$:

      1. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

      В результате последовательности правил:

      $- 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$

   $g{\left(x \right)} = x$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   В результате: $- 2 x \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}$

2. Теперь упростим:

   $- x \sin{\left(2 x \right)} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

Ответ:

$- x \sin{\left(2 x \right)} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$