Господин Экзамен

Lang:

Интеграл cos(x)*sin(x) d{x}

Вы ввели [src]

  1                 
  /                 
 |                  
 |  cos(x)*sin(x) dx
 |                  
/                   
0

$$\int\limits_{0}^{1} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$$

Упростить

Подробное решение

Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
Метод #1
1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$ .
  
  Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$ :
  
  $\int u\, du$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- u\right)\, du = - \int u\, du$
    1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$
    Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{2}}{2}$
  Если сейчас заменить $u$ ещё в:
  
  $- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$
Метод #2
1. пусть $u = \sin{\left(x \right)}$ .
  
  Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$ :
  
  $\int u\, du$
  1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
    
    $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$
  Если сейчас заменить $u$ ещё в:
  
  $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{2}$
Добавляем постоянную интегрирования:

$- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Ответ (Неопределённый) [src]

  /                          2   
 |                        cos (x)
 | cos(x)*sin(x) dx = C - -------
 |                           2   
/

$$-{{\cos ^2x}\over{2}}$$

Упростить

График

Ответ [src]

   2   
sin (1)
-------
   2

$${{1}\over{2}}-{{\cos ^21}\over{2}}$$

   2   
sin (1)
-------
   2

$$\frac{\sin^{2}{\left(1 \right)}}{2}$$

Упростить

Численный ответ [src]

0.354036709136786

0.354036709136786

График

Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

Метод #1