Интеграл (8*x-2)^3 d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 8 x - 2$.

      Тогда пусть $du = 8 dx$ и подставим $\frac{du}{8}$:

      $\int \frac{u^{3}}{64}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{u^{3}}{8}\, du = \frac{\int u^{3}\, du}{8}$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{u^{4}}{32}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{\left(8 x - 2\right)^{4}}{32}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(8 x - 2\right)^{3} = 512 x^{3} - 384 x^{2} + 96 x - 8$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 512 x^{3}\, dx = 512 \int x^{3}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $128 x^{4}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 384 x^{2}\right)\, dx = - 384 \int x^{2}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $- 128 x^{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 96 x\, dx = 96 \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $48 x^{2}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int \left(-8\right)\, dx = - 8 x$

      Результат есть: $128 x^{4} - 128 x^{3} + 48 x^{2} - 8 x$

2. Теперь упростить:

   $\frac{\left(4 x - 1\right)^{4}}{2}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{\left(4 x - 1\right)^{4}}{2}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{\left(4 x - 1\right)^{4}}{2}+ \mathrm{constant}$