Интеграл cos(x/4)^(3) d{x}

Решение

Вы ввели [src]

  1           
  /           
 |            
 |     3/x\   
 |  cos |-| dx
 |      \4/   
 |            
/             
0

$$\int\limits_{0}^{1} \cos^{3}{\left(\frac{x}{4} \right)}\, dx$$

Упростить

Подробное решение

Перепишите подынтегральное выражение:

$\cos^{3}{\left(\frac{x}{4} \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(\frac{x}{4} \right)}\right) \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}$
Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
Метод #1
1. пусть $u = \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}$ .
  
  Тогда пусть $du = \frac{\cos{\left(\frac{x}{4} \right)} dx}{4}$ и подставим $du$ :
  
  $\int \left(4 - 4 u^{2}\right)\, du$
  1. Интегрируем почленно:
    1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int 4\, du = 4 u$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- 4 u^{2}\right)\, du = - 4 \int u^{2}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{4 u^{3}}{3}$
    Результат есть: $- \frac{4 u^{3}}{3} + 4 u$
  Если сейчас заменить $u$ ещё в:
  
  $- \frac{4 \sin^{3}{\left(\frac{x}{4} \right)}}{3} + 4 \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}$
Метод #2
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\left(1 - \sin^{2}{\left(\frac{x}{4} \right)}\right) \cos{\left(\frac{x}{4} \right)} = - \sin^{2}{\left(\frac{x}{4} \right)} \cos{\left(\frac{x}{4} \right)} + \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}$
2. Интегрируем почленно:
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- \sin^{2}{\left(\frac{x}{4} \right)} \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{2}{\left(\frac{x}{4} \right)} \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}\, dx$
    1. пусть $u = \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = \frac{\cos{\left(\frac{x}{4} \right)} dx}{4}$ и подставим $4 du$ :
      
      $\int 16 u^{2}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int 4 u^{2}\, du = 4 \int u^{2}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{4 u^{3}}{3}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{4 \sin^{3}{\left(\frac{x}{4} \right)}}{3}$
    Таким образом, результат будет: $- \frac{4 \sin^{3}{\left(\frac{x}{4} \right)}}{3}$
  1. пусть $u = \frac{x}{4}$ .
    
    Тогда пусть $du = \frac{dx}{4}$ и подставим $4 du$ :
    
    $\int 16 \cos{\left(u \right)}\, du$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int 4 \cos{\left(u \right)}\, du = 4 \int \cos{\left(u \right)}\, du$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $4 \sin{\left(u \right)}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $4 \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}$
  Результат есть: $- \frac{4 \sin^{3}{\left(\frac{x}{4} \right)}}{3} + 4 \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}$
Метод #3
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\left(1 - \sin^{2}{\left(\frac{x}{4} \right)}\right) \cos{\left(\frac{x}{4} \right)} = - \sin^{2}{\left(\frac{x}{4} \right)} \cos{\left(\frac{x}{4} \right)} + \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}$
2. Интегрируем почленно:
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- \sin^{2}{\left(\frac{x}{4} \right)} \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{2}{\left(\frac{x}{4} \right)} \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}\, dx$
    1. пусть $u = \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = \frac{\cos{\left(\frac{x}{4} \right)} dx}{4}$ и подставим $4 du$ :
      
      $\int 16 u^{2}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int 4 u^{2}\, du = 4 \int u^{2}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{4 u^{3}}{3}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{4 \sin^{3}{\left(\frac{x}{4} \right)}}{3}$
    Таким образом, результат будет: $- \frac{4 \sin^{3}{\left(\frac{x}{4} \right)}}{3}$
  1. пусть $u = \frac{x}{4}$ .
    
    Тогда пусть $du = \frac{dx}{4}$ и подставим $4 du$ :
    
    $\int 16 \cos{\left(u \right)}\, du$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int 4 \cos{\left(u \right)}\, du = 4 \int \cos{\left(u \right)}\, du$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $4 \sin{\left(u \right)}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $4 \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}$
  Результат есть: $- \frac{4 \sin^{3}{\left(\frac{x}{4} \right)}}{3} + 4 \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}$
Теперь упростить:

$3 \sin{\left(\frac{x}{4} \right)} + \frac{\sin{\left(\frac{3 x}{4} \right)}}{3}$
Добавляем постоянную интегрирования:

$3 \sin{\left(\frac{x}{4} \right)} + \frac{\sin{\left(\frac{3 x}{4} \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$3 \sin{\left(\frac{x}{4} \right)} + \frac{\sin{\left(\frac{3 x}{4} \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$

Ответ (Неопределённый) [src]

  /                                 3/x\
 |                             4*sin |-|
 |    3/x\               /x\         \4/
 | cos |-| dx = C + 4*sin|-| - ---------
 |     \4/               \4/       3    
 |                                      
/

$$4\,\left(\sin \left({{x}\over{4}}\right)-{{\sin ^3\left({{x}\over{4 }}\right)}\over{3}}\right)$$

Упростить

График

Построить график f(x)

Ответ [src]

                  3     
             4*sin (1/4)
4*sin(1/4) - -----------
                  3

$$-{{4\,\sin ^3\left({{1}\over{4}}\right)-12\,\sin \left({{1}\over{4 }}\right)}\over{3}}$$

                  3     
             4*sin (1/4)
4*sin(1/4) - -----------
                  3

$$- \frac{4 \sin^{3}{\left(\frac{1}{4} \right)}}{3} + 4 \sin{\left(\frac{1}{4} \right)}$$

Упростить

Численный ответ [src]

0.969424797771347

0.969424797771347

График

$Интеграл cos(x/4)^(3) d{x}$

Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Интеграл cos(x/4)^(3) d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #2

Метод #3