Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

Как пользоваться?
Интеграл d{x}:
Интеграл sin(x)^(2)*dx
Интеграл x^2*sqrt(16-x^2)
Интеграл 1/(sqrt(x^2-1))
Интеграл sin(x)/(x)
Идентичные выражения
cos(три *x)^ два *sin(три *x)^ четыре
косинус от (3 умножить на x) в квадрате умножить на синус от (3 умножить на x) в степени 4
косинус от (три умножить на x) в степени два умножить на синус от (три умножить на x) в степени четыре
cos(3*x)2*sin(3*x)4
cos3*x2*sin3*x4
cos(3*x)²*sin(3*x)⁴
cos(3*x) в степени 2*sin(3*x) в степени 4
cos(3x)^2sin(3x)^4
cos(3x)2sin(3x)4
cos3x2sin3x4
cos3x^2sin3x^4
cos(3*x)^2*sin(3*x)^4dx

Решение интегралов/ cos(3*x)^2*sin(3*x)^4

Интеграл cos(3x)^2sin(3*x)^4 d{x}

Решение

Вы ввели [src]

  1                       
  /                       
 |                        
 |     2         4        
 |  cos (3*x)*sin (3*x) dx
 |                        
/                         
0

$$\int\limits_{0}^{1} \sin^{4}{\left(3 x \right)} \cos^{2}{\left(3 x \right)}\, dx$$

Упростить

Подробное решение

Перепишите подынтегральное выражение:

$\sin^{4}{\left(3 x \right)} \cos^{2}{\left(3 x \right)} = \left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(6 x \right)}}{2}\right)^{2} \left(\frac{\cos{\left(6 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)$
Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
Метод #1
1. пусть $u = 6 x$ .
  
  Тогда пусть $du = 6 dx$ и подставим $du$ :
  
  $\int \left(\frac{\cos^{3}{\left(u \right)}}{48} - \frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{48} - \frac{\cos{\left(u \right)}}{48} + \frac{1}{48}\right)\, du$
  1. Интегрируем почленно:
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos^{3}{\left(u \right)}}{48}\, du = \frac{\int \cos^{3}{\left(u \right)}\, du}{48}$
      
      Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\cos^{3}{\left(u \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(u \right)}\right) \cos{\left(u \right)}$
      
      пусть $u = \sin{\left(u \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = \cos{\left(u \right)} du$ и подставим $du$ :
      
      $\int \left(1 - u^{2}\right)\, du$
      
      Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int 1\, du = u$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{3}$
      
      Результат есть: $- \frac{u^{3}}{3} + u$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{3} + \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{144} + \frac{\sin{\left(u \right)}}{48}$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{48}\right)\, du = - \frac{\int \cos^{2}{\left(u \right)}\, du}{48}$
      
      Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\cos^{2}{\left(u \right)} = \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
      
      Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(2 u \right)}\, du}{2}$
      
      пусть $u = 2 u$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 du$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{2}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}$
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$
      
      Результат есть: $\frac{u}{2} + \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u}{96} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{192}$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{\cos{\left(u \right)}}{48}\right)\, du = - \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{48}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin{\left(u \right)}}{48}$
    1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{48}\, du = \frac{u}{48}$
    Результат есть: $\frac{u}{96} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{192} - \frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{144}$
  Если сейчас заменить $u$ ещё в:
  
  $\frac{x}{16} - \frac{\sin^{3}{\left(6 x \right)}}{144} - \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{192}$
Метод #2
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(6 x \right)}}{2}\right)^{2} \left(\frac{\cos{\left(6 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right) = \frac{\cos^{3}{\left(6 x \right)}}{8} - \frac{\cos^{2}{\left(6 x \right)}}{8} - \frac{\cos{\left(6 x \right)}}{8} + \frac{1}{8}$
2. Интегрируем почленно:
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \frac{\cos^{3}{\left(6 x \right)}}{8}\, dx = \frac{\int \cos^{3}{\left(6 x \right)}\, dx}{8}$
    1. Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\cos^{3}{\left(6 x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(6 x \right)}\right) \cos{\left(6 x \right)}$
    2. пусть $u = \sin{\left(6 x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = 6 \cos{\left(6 x \right)} dx$ и подставим $du$ :
      
      $\int \left(\frac{1}{6} - \frac{u^{2}}{6}\right)\, du$
      
      Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{6}\, du = \frac{u}{6}$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{u^{2}}{6}\right)\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{6}$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{18}$
      
      Результат есть: $- \frac{u^{3}}{18} + \frac{u}{6}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\sin^{3}{\left(6 x \right)}}{18} + \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{6}$
    Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin^{3}{\left(6 x \right)}}{144} + \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{48}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- \frac{\cos^{2}{\left(6 x \right)}}{8}\right)\, dx = - \frac{\int \cos^{2}{\left(6 x \right)}\, dx}{8}$
    1. Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\cos^{2}{\left(6 x \right)} = \frac{\cos{\left(12 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
    2. Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(12 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(12 x \right)}\, dx}{2}$
      
      пусть $u = 12 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 12 dx$ и подставим $\frac{du}{12}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{144}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{12}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{12}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{12}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(12 x \right)}}{12}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(12 x \right)}}{24}$
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
      
      Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{24}$
    Таким образом, результат будет: $- \frac{x}{16} - \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{192}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- \frac{\cos{\left(6 x \right)}}{8}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(6 x \right)}\, dx}{8}$
    1. пусть $u = 6 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 6 dx$ и подставим $\frac{du}{6}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{36}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{6}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{6}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{6}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(6 x \right)}}{6}$
    Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{48}$
  1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
    
    $\int \frac{1}{8}\, dx = \frac{x}{8}$
  Результат есть: $\frac{x}{16} - \frac{\sin^{3}{\left(6 x \right)}}{144} - \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{192}$
Метод #3
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(6 x \right)}}{2}\right)^{2} \left(\frac{\cos{\left(6 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right) = \frac{\cos^{3}{\left(6 x \right)}}{8} - \frac{\cos^{2}{\left(6 x \right)}}{8} - \frac{\cos{\left(6 x \right)}}{8} + \frac{1}{8}$
2. Интегрируем почленно:
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \frac{\cos^{3}{\left(6 x \right)}}{8}\, dx = \frac{\int \cos^{3}{\left(6 x \right)}\, dx}{8}$
    1. Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\cos^{3}{\left(6 x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(6 x \right)}\right) \cos{\left(6 x \right)}$
    2. пусть $u = \sin{\left(6 x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = 6 \cos{\left(6 x \right)} dx$ и подставим $du$ :
      
      $\int \left(\frac{1}{6} - \frac{u^{2}}{6}\right)\, du$
      
      Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{6}\, du = \frac{u}{6}$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{u^{2}}{6}\right)\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{6}$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{18}$
      
      Результат есть: $- \frac{u^{3}}{18} + \frac{u}{6}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\sin^{3}{\left(6 x \right)}}{18} + \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{6}$
    Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin^{3}{\left(6 x \right)}}{144} + \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{48}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- \frac{\cos^{2}{\left(6 x \right)}}{8}\right)\, dx = - \frac{\int \cos^{2}{\left(6 x \right)}\, dx}{8}$
    1. Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\cos^{2}{\left(6 x \right)} = \frac{\cos{\left(12 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
    2. Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(12 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(12 x \right)}\, dx}{2}$
      
      пусть $u = 12 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 12 dx$ и подставим $\frac{du}{12}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{144}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{12}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{12}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{12}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(12 x \right)}}{12}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(12 x \right)}}{24}$
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
      
      Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{24}$
    Таким образом, результат будет: $- \frac{x}{16} - \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{192}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- \frac{\cos{\left(6 x \right)}}{8}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(6 x \right)}\, dx}{8}$
    1. пусть $u = 6 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 6 dx$ и подставим $\frac{du}{6}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{36}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{6}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{6}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{6}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(6 x \right)}}{6}$
    Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{48}$
  1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
    
    $\int \frac{1}{8}\, dx = \frac{x}{8}$
  Результат есть: $\frac{x}{16} - \frac{\sin^{3}{\left(6 x \right)}}{144} - \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{192}$
Добавляем постоянную интегрирования:

$\frac{x}{16} - \frac{\sin^{3}{\left(6 x \right)}}{144} - \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{192}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{x}{16} - \frac{\sin^{3}{\left(6 x \right)}}{144} - \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{192}+ \mathrm{constant}$

Ответ (Неопределённый) [src]

  /                                                       
 |                                 3                      
 |    2         4               sin (6*x)   sin(12*x)   x 
 | cos (3*x)*sin (3*x) dx = C - --------- - --------- + --
 |                                 144         192      16
/

$${{{{6\,x-{{\sin \left(12\,x\right)}\over{2}}}\over{4}}-{{\sin ^3 \left(6\,x\right)}\over{6}}}\over{24}}$$

Упростить

График

Построить график f(x)

Ответ [src]

                        3                5          
1    cos(3)*sin(3)   sin (3)*cos(3)   sin (3)*cos(3)
-- - ------------- - -------------- + --------------
16         48              72               18

$$-{{3\,\sin 12+4\,\sin ^36-36}\over{576}}$$

                        3                5          
1    cos(3)*sin(3)   sin (3)*cos(3)   sin (3)*cos(3)
-- - ------------- - -------------- + --------------
16         48              72               18

$$\frac{\sin^{5}{\left(3 \right)} \cos{\left(3 \right)}}{18} - \frac{\sin^{3}{\left(3 \right)} \cos{\left(3 \right)}}{72} - \frac{\sin{\left(3 \right)} \cos{\left(3 \right)}}{48} + \frac{1}{16}$$

Упростить

Численный ответ [src]

0.065446142364282

0.065446142364282

График

$Интеграл cos(3*x)^2*sin(3*x)^4 d{x}$

Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Интеграл cos(3x)^2sin(3*x)^4 d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #2

Метод #3