Интеграл cos(2*x)^3 d{x}

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\cos^{3}{\left(2 x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(2 x \right)}\right) \cos{\left(2 x \right)}$

2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = \sin{\left(2 x \right)}$.

      Тогда пусть $du = 2 \cos{\left(2 x \right)} dx$ и подставим $du$:

      $\int \left(\frac{1}{2} - \frac{u^{2}}{2}\right)\, du$

      1. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- \frac{u^{2}}{2}\right)\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{2}$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{6}$

         Результат есть: $- \frac{u^{3}}{6} + \frac{u}{2}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{6} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(1 - \sin^{2}{\left(2 x \right)}\right) \cos{\left(2 x \right)} = - \sin^{2}{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \sin^{2}{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{2}{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\, dx$

         1. пусть $u = \sin{\left(2 x \right)}$.

            Тогда пусть $du = 2 \cos{\left(2 x \right)} dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{u^{2}}{4}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{u^{2}}{2}\, du = \frac{\int u^{2}\, du}{2}$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{u^{3}}{6}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{6}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{6}$

      1. пусть $u = 2 x$.

         Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

            1. Интеграл от косинуса есть синус:

               $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

      Результат есть: $- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{6} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

   Метод #3

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(1 - \sin^{2}{\left(2 x \right)}\right) \cos{\left(2 x \right)} = - \sin^{2}{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \sin^{2}{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{2}{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\, dx$

         1. пусть $u = \sin{\left(2 x \right)}$.

            Тогда пусть $du = 2 \cos{\left(2 x \right)} dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{u^{2}}{4}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{u^{2}}{2}\, du = \frac{\int u^{2}\, du}{2}$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{u^{3}}{6}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{6}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{6}$

      1. пусть $u = 2 x$.

         Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

            1. Интеграл от косинуса есть синус:

               $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

      Результат есть: $- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{6} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

3. Теперь упростить:

   $\frac{\left(3 - \sin^{2}{\left(2 x \right)}\right) \sin{\left(2 x \right)}}{6}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{\left(3 - \sin^{2}{\left(2 x \right)}\right) \sin{\left(2 x \right)}}{6}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{\left(3 - \sin^{2}{\left(2 x \right)}\right) \sin{\left(2 x \right)}}{6}+ \mathrm{constant}$