Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

Как пользоваться?
Интеграл d{x}:
Интеграл sqrt(x^2-9)/x^4
Интеграл 1/(sqrt(2*pi))*e^((-x^2)/2)
Интеграл (5*x^4-7*x^6+3)
Интеграл (x-pi/2)^2*sin(x)/2
Производная:
cos(2*x)^3
Идентичные выражения
cos(два *x)^ три
косинус от (2 умножить на x) в кубе
косинус от (два умножить на x) в степени три
cos(2*x)3
cos2*x3
cos(2*x)³
cos(2*x) в степени 3
cos(2x)^3
cos(2x)3
cos2x3
cos2x^3
cos(2*x)^3dx
Похожие выражения
cos(2*x)^(3)
(cos(2*x)^(3)*sin(2*x)^(4))
(cos(2*x)^(3))^(1/2)*sin(2*x)
(cos(2*x))^3
sin(2*x)/cos(2*x)^(3)

Решение интегралов/ cos(2*x)^3

Интеграл cos(2*x)^3 d{x}

Решение

Вы ввели [src]

  1             
  /             
 |              
 |     3        
 |  cos (2*x) dx
 |              
/               
0

$$\int\limits_{0}^{1} \cos^{3}{\left(2 x \right)}\, dx$$

Упростить

Подробное решение

Перепишите подынтегральное выражение:

$\cos^{3}{\left(2 x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(2 x \right)}\right) \cos{\left(2 x \right)}$
Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
Метод #1
1. пусть $u = \sin{\left(2 x \right)}$ .
  
  Тогда пусть $du = 2 \cos{\left(2 x \right)} dx$ и подставим $du$ :
  
  $\int \left(\frac{1}{2} - \frac{u^{2}}{2}\right)\, du$
  1. Интегрируем почленно:
    1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{u^{2}}{2}\right)\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{2}$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{6}$
    Результат есть: $- \frac{u^{3}}{6} + \frac{u}{2}$
  Если сейчас заменить $u$ ещё в:
  
  $- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{6} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$
Метод #2
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\left(1 - \sin^{2}{\left(2 x \right)}\right) \cos{\left(2 x \right)} = - \sin^{2}{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}$
2. Интегрируем почленно:
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- \sin^{2}{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{2}{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\, dx$
    1. пусть $u = \sin{\left(2 x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 \cos{\left(2 x \right)} dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{u^{2}}{4}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{u^{2}}{2}\, du = \frac{\int u^{2}\, du}{2}$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{u^{3}}{6}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{6}$
    Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{6}$
  1. пусть $u = 2 x$ .
    
    Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
    
    $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$
  Результат есть: $- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{6} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$
Метод #3
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\left(1 - \sin^{2}{\left(2 x \right)}\right) \cos{\left(2 x \right)} = - \sin^{2}{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}$
2. Интегрируем почленно:
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- \sin^{2}{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{2}{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\, dx$
    1. пусть $u = \sin{\left(2 x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 \cos{\left(2 x \right)} dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{u^{2}}{4}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{u^{2}}{2}\, du = \frac{\int u^{2}\, du}{2}$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{u^{3}}{6}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{6}$
    Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{6}$
  1. пусть $u = 2 x$ .
    
    Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
    
    $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$
  Результат есть: $- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{6} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$
Теперь упростить:

$\frac{\left(3 - \sin^{2}{\left(2 x \right)}\right) \sin{\left(2 x \right)}}{6}$
Добавляем постоянную интегрирования:

$\frac{\left(3 - \sin^{2}{\left(2 x \right)}\right) \sin{\left(2 x \right)}}{6}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{\left(3 - \sin^{2}{\left(2 x \right)}\right) \sin{\left(2 x \right)}}{6}+ \mathrm{constant}$

Ответ (Неопределённый) [src]

  /                                       
 |                                  3     
 |    3               sin(2*x)   sin (2*x)
 | cos (2*x) dx = C + -------- - ---------
 |                       2           6    
/

$${{\sin \left(2\,x\right)-{{\sin ^3\left(2\,x\right)}\over{3}} }\over{2}}$$

Упростить

График

Построить график f(x)

Ответ [src]

            3   
sin(2)   sin (2)
------ - -------
  2         6

$$-{{\sin ^32-3\,\sin 2}\over{6}}$$

            3   
sin(2)   sin (2)
------ - -------
  2         6

$$- \frac{\sin^{3}{\left(2 \right)}}{6} + \frac{\sin{\left(2 \right)}}{2}$$

Упростить

Численный ответ [src]

0.329344222634675

0.329344222634675

График

$Интеграл cos(2*x)^3 d{x}$

Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Интеграл cos(2*x)^3 d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #2

Метод #3