Интеграл sin(2*x)/cos(2*x)^(3) d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 2 x$.

      Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{4 \cos^{3}{\left(u \right)}}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2 \cos^{3}{\left(u \right)}}\, du = \frac{\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\cos^{3}{\left(u \right)}}\, du}{2}$

         1. пусть $u = \cos{\left(u \right)}$.

            Тогда пусть $du = - \sin{\left(u \right)} du$ и подставим $- du$:

            $\int \frac{1}{u^{3}}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \left(- \frac{1}{u^{3}}\right)\, du = - \int \frac{1}{u^{3}}\, du$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2 u^{2}}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{1}{2 \cos^{2}{\left(u \right)}}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{1}{4 \cos^{2}{\left(u \right)}}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{1}{4 \cos^{2}{\left(2 x \right)}}$

   Метод #2

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\cos^{3}{\left(2 x \right)}}\, dx = 2 \int \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\cos^{3}{\left(2 x \right)}}\, dx$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\cos^{3}{\left(2 x \right)}} = \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{8 \cos^{6}{\left(x \right)} - 12 \cos^{4}{\left(x \right)} + 6 \cos^{2}{\left(x \right)} - 1}$

      2. пусть $u = \cos^{2}{\left(x \right)}$.

         Тогда пусть $du = - 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$:

         $\int \frac{1}{16 u^{3} - 24 u^{2} + 12 u - 2}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- \frac{1}{16 u^{3} - 24 u^{2} + 12 u - 2}\right)\, du = - \int \frac{1}{16 u^{3} - 24 u^{2} + 12 u - 2}\, du$

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\frac{1}{16 u^{3} - 24 u^{2} + 12 u - 2} = \frac{1}{2 \left(2 u - 1\right)^{3}}$

            2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{1}{2 \left(2 u - 1\right)^{3}}\, du = \frac{\int \frac{1}{\left(2 u - 1\right)^{3}}\, du}{2}$

               1. пусть $u = 2 u - 1$.

                  Тогда пусть $du = 2 du$ и подставим $\frac{du}{2}$:

                  $\int \frac{1}{4 u^{3}}\, du$

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int \frac{1}{2 u^{3}}\, du = \frac{\int \frac{1}{u^{3}}\, du}{2}$

                     1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

                        $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$

                     Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{4 u^{2}}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $- \frac{1}{4 \left(2 u - 1\right)^{2}}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{8 \left(2 u - 1\right)^{2}}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{1}{8 \left(2 u - 1\right)^{2}}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{1}{8 \left(2 \cos^{2}{\left(x \right)} - 1\right)^{2}}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{1}{4 \left(2 \cos^{2}{\left(x \right)} - 1\right)^{2}}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{4 \cos^{2}{\left(2 x \right)}}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{1}{4 \cos^{2}{\left(2 x \right)}}+ \mathrm{constant}$