Интеграл e^x/(1-e^x) d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = e^{x}$.

      Тогда пусть $du = e^{x} dx$ и подставим $- du$:

      $\int \frac{1}{u - 1}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \frac{1}{u - 1}\right)\, du = - \int \frac{1}{u - 1}\, du$

         1. пусть $u = u - 1$.

            Тогда пусть $du = du$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left(u - 1 \right)}$

         Таким образом, результат будет: $- \log{\left(u - 1 \right)}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \log{\left(e^{x} - 1 \right)}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{e^{x}}{1 - e^{x}} = - \frac{e^{x}}{e^{x} - 1}$

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \left(- \frac{e^{x}}{e^{x} - 1}\right)\, dx = - \int \frac{e^{x}}{e^{x} - 1}\, dx$

      1. пусть $u = e^{x} - 1$.

         Тогда пусть $du = e^{x} dx$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\log{\left(e^{x} - 1 \right)}$

      Таким образом, результат будет: $- \log{\left(e^{x} - 1 \right)}$

2. Теперь упростить:

   $- \log{\left(e^{x} - 1 \right)}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \log{\left(e^{x} - 1 \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$- \log{\left(e^{x} - 1 \right)}+ \mathrm{constant}$