Интеграл e^(4*x+1) d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $e^{4 x + 1} = e e^{4 x}$

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int e e^{4 x}\, dx = e \int e^{4 x}\, dx$

      1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

         Метод #1

         1. пусть $u = 4 x$.

            Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$:

            $\int \frac{e^{u}}{16}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{e^{u}}{4}\, du = \frac{\int e^{u}\, du}{4}$

               1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{e^{u}}{4}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{e^{4 x}}{4}$

         Метод #2

         1. пусть $u = e^{4 x}$.

            Тогда пусть $du = 4 e^{4 x} dx$ и подставим $\frac{du}{4}$:

            $\int \frac{1}{16}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{1}{4}\, du = \frac{\int 1\, du}{4}$

               1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                  $\int 1\, du = u$

               Таким образом, результат будет: $\frac{u}{4}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{e^{4 x}}{4}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{e e^{4 x}}{4}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $e^{4 x + 1} = e e^{4 x}$

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int e e^{4 x}\, dx = e \int e^{4 x}\, dx$

      1. пусть $u = 4 x$.

         Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$:

         $\int \frac{e^{u}}{16}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{e^{u}}{4}\, du = \frac{\int e^{u}\, du}{4}$

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{e^{u}}{4}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{e^{4 x}}{4}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{e e^{4 x}}{4}$

2. Теперь упростить:

   $\frac{e^{4 x + 1}}{4}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{e^{4 x + 1}}{4}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{e^{4 x + 1}}{4}+ \mathrm{constant}$